§ 23. Bedingung, dafs eine Gerade in einer Ebene liegt. 73 
so reducieren sich die vier Determinanten auf die beiden 
Relationen 
Am -j- Bn -f- C — 0, Ap -f- Bq -j- 1) — 0 . (2.) 
Wir wollen dieselben noch in anderer Weise ableiten, die auch 
angewandt werden kann, wenn die Gleichungen der Geraden in der 
allgemeinen Form gegeben sind. 
Da für jeden Punct der Ebene, der zugleich ein Punct der Ge 
raden ist, die x- und ?/-Coordinaten desselben vermöge der Gleich 
ungen der Geraden durch die £-Coordinate ausgedrückt werden, so ist 
für jeden Punct der Geraden 
(Am -f- Bn -]- C) z —f— Ap Bq -J- D — 0. 
Diese Gleichung kann aber nur dann für alle möglichen Werte 
von z bestehen, wenn 
Am -j- Bn -f- (7=0, Ap -j- Bq -f- D = 0. 
2) Zwei Gerade liegen im Allgemeinen nicht in einer Ebene und 
es werden daher bei zwei solchen Geraden die Constanten ihrer Gleich 
ungen gewissen Bedingungen genügen müssen, die sich unmittelbar aus 
der Thatsache ergeben, dafs beide Geraden einen Punct gemeinsam 
haben müssen. 
Sind nämlich 
A t x -f- B { y -f- G t z -f- Di = 0; A 2 x -f- B 2 y -f- C 2 z -j- D 2 — 0 
die Gleichungen der einen und 
A(x -f- B { 'y -f- G(e -j- D { — 0 ; A 2 'x -f- B 2 y -j- C 2 'z + B 2 = 0 
die der anderen Geraden, so müssen die Coordinaten £, y, £ des 
Durchschuittspunctes der beiden Geraden jeder dieser Gleichung ge 
nügen, d, h. es müssen die vier Gleichungen zusammenbestehen 
A x £ + B { rj -J- (7, £ -f- -D, =0 
•^-2 £ -f" -®2 V “1“ ^2 £ 4“ -^2 ~ ^ 
A £ + BtV ~f~ + B, = 0 
■^-2 £ ~j~ Bi'v + c 2 £ + b 2 = o. 
Dies ist aber nur möglich, wenn ihre Determinante verschwindet. 
Somit ist die Bedingung, dafs sich die Geraden schneiden: 
A i} 
■Bl, 
Cn 
A 
A 2 , 
B 2 , 
C 2 , 
B 2 
A', 
Bi, 
(V. 
A' 
A 2 , 
B 2 ', 
c 2 
A' 
Sind die Gleichungen der Geraden in der Form gegeben