§ 24. Aufgaben. 
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Aj Aj —J— A 2 — A3 A^ — A 4 — 0 
Aji’j + A. 2 B 2 — Ag^,'— A 4 5 2 '= 0 
Ai Cl + a 2 c 2 - a 3 0/- a 4 o;= 0 
AjDj + A 2 D 2 — A 3 D/— A 4 D 2 '= 0 . 
Aus diesen vier homogenen Gleichungen lassen sich aber stets die 
Verhältnisse der A 4 , A 2 , A 3 , A 4 bestimmen, da ihre Determinante in 
Folge der Voraussetzung, dafs die beiden Geraden sich schneiden, 
2 (!'.) verschwindet. Bezeichnet man mit , a 2 , cc 3 , a 4 die Subdeter 
minanten jener Elemente einer Zeile in der Determinante der vier 
Gleichungen, die mit den a gleiche Indices haben, so ist 
A 4 * Ag • A3 ■ A 4 ■ 1 ■■ dj • dg • dij • d^ 
Die Substitution der sich hieraus ergebenden Werte von 1 , oder 3 
¿2 d 4 
liefert dann die Gleichung der gesuchten Ebene. 
§ 24. 
Aufgaben. 
Da die Gerade durch zwei Gleichungen ausgedrückt wird, deren 
einfachste Form 
x = mz -(- p, y = nz + q 
ist und dieselben vier Constante m, n, p, q enthalten, so sind zur 
Bestimmung einer Geraden im Raume vier von einander unabhängige 
Bedingungsgleichungen notwendig. Wie wir sahen, liefert die Be 
dingung, dafs eine Gerade zu einer Ebene parallel oder zu einer 
anderen Geraden senkrecht sei, oder eine zweite schneide, je eine 
Bedingungsgleichung; dafs sie durch einen gegebenen Punct gehe, 
in einer gegebenen Ebene liege, auf einer Ebene senkrecht stehe, 
einer anderen Geraden parallel sei, je zwei Bedingungsgleichungen. 
Somit ergeben sich die folgenden Aufgaben: 
1) Die Gleichungen der Geraden aufzustellen, welche 
durch zwei gegebene Puncte geht. 
Es seien x^, y lf z 1 und x 2 , y 2 , z 2 die Coordinaten der beiden 
gegebenen Puncte, 
x — mz-{-p y y = nz -j- q 
die gesuchten Gleichungen der Verbindungslinie dieser beiden Puncte. 
Die unbekannten Grössen m, n, p, q in diesen Gleichungen müssen 
aus der Bedingung bestimmt werden, dafs die Gerade durch die 
beiden gegebenen Puncte gehe, also aus den Gleichungen 
X\ = mz^ + p, y, =n* 1 + 2 
^2 = m *2 + P, y* = nz 2 + q,