§ 24. Aufgaben. 77 
A = m C, B = w 0 
und somit 
X — x x = ~ 0 — *,), y — y x = § (* — *,), 
oder ® — jr, y — yi z — z x 
A jB C 
die Gleichungen der gesuchten Normale. 
3) Von einem gegebenen Puncte eine Ebene senkrecht 
auf eine gegebene Gerade zu fällen. 
Es seien x x , y x , z x die Coordinaten des gegebenen Punctes und 
x — mz-\-p, y = n8-\~ < l 
die Gleichungen der gegebenen Geraden. 
Da die gesuchte Ebene durch den Punct x x , y x , z x gehen soll, 
so hat ihre Gleichung die Form 
A (x — x x ) -f■ B (y — y x ) -f- C (z — z x ) — 0, 
wo die A, B, C erst den Bedingungen der Aufgabe gemäfs zu be 
stimmen sind. Da nun die Ebene auf der Geraden senkrecht stehen 
soll, so sind die A, B, C durch die Gleichungen gegeben § 22 
A : B : C = m : n : 1 
und daher ist 
m{x — x x ) + n{y — y x ) + 0 — s x ) = 0 
die Gleichung der gesuchten Ebene. 
4) Die Gleichung der Ebene zu finden, welche durch 
eine gegebene Gerade geht und auf einer gegebenen Ebene 
senkrecht steht. 
Es sei Ax -f- By -f- Cz -f- B — 0 
die Gleichung der gegebenen Ebene und 
x = mz -f- p, y — nz + q 
seien die Gleichungen der gegebenen Geraden. 
Ist dann A'x B'y -{- Cz -f- B — 0 
die Gleichung der gesuchten Ebene, so unterliegen die Constanten 
A’, B r , C, B den Bedingungsgleichungen [§ 23, Formel 2; § 12, 3] 
A'm -j- B'n -f- C =0 
A'p + B'q 4- B'= 0 
A'A + B'B + CC = 0. 
Aus der Forderung, dafs für jeden Punct x, y, z der Ebene diese 
drei Gleichungen mit der obigen zusammen bestehen sollen, ergiebt 
sich als Gleichung der gesuchten Ebene