§ 24. Aufgaben.
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Dies ist nun der gesuchte Ausdruck für den Abstand der beiden
Geraden. Die Wurzel erhält darin das Zeichen, welches den Aus
druck positiv macht.
3. Durch eine kleine Transformation dieses Ausdruckes ergiebt
sich der aus der Elementar-Geometiie bekannte Satz, dafs der Ab
stand der beiden Geraden auch ihre kürzeste Entfernung ist.
Zu diesem ßehufe führen wir statt der Gröfsen p, q, p, q,
welche die Coordinaten der Durchschnittspuncte der beiden Geraden
mit der (XE)-Ebene sind, die Coordinaten irgend welchen Punctes
jeder Geraden ein. Sind nun x, y, z die Coordinaten eines Punctes
der ersten und x, y, z die eines Punctes der zweiten Geraden, so geht
durch die Substitution
p = x — mz, q = y — nz
jp'= x— m'z', q = y — nz
die obige Formel über in
j [x — x') (n — n) — (y — y) (m — m) -J- (rnri— m n) (z — s)
V(in — m f -|- (n — n f -j- (mn — m'n) 2
oder wegen (1.)
d = [x — x) cos «-{-(«/ — y) cos ß -(- {z — z) cos y.
Bezeichnet man nun mit r den Abstand der beiden Puncte x, y, z
und x, y, z, ferner mit o, «p, die Winkel, welche r bezüglich
mit der X-, Y- und Z-Axe bildet, so ist
x — x= r cos co, y — y— r cos cp, z — z'= r cos ip.
Substituiert man diese Werte in dem Ausdrucke für d, so erhält man
d — r (cos a cos co -f- cos ß cos cp -j- cos y cos ip).
Der Coefficient von r in diesem Ausdrucke ist aber cos #, wenn &
den Winkel bezeichnet, den die Geraden r und d mit einander ein-
schliefsen. Es ist somit
d = r cos & .
Diese Formel zeigt, dafs man stets ein rechtwinkliges Dreieck con-
struieren kann, in dem r die Hypothenuse, d eine Kathete und &
der ihr anliegende Winkel ist: also ist stets d < r, wie früher be
hauptet wurde.
11) Eine Ebene teilt den Winkel zweier Ebenen derart,
dafs die Sinus der Teile dieses Winkels in einem bekann
ten Verhältni sse zu einander stehen. Es ist die Beziehung
zwischen den Gleichungen der Durchschnittspuncte dieser
drei Ebenen mit einer gegebenen Geraden aufzufinden.
Es seien
U = a i x -(- h i y ~F Cj z -f- d i — 0; V = a 2 x -f h 2 y + c 2 z -f- d 2 = 0
G*
