BESTIMMUNG ALLER NORMALFLACHEN MIT TRANSITIVEN
AUTOMORPHEN GRUPPEN VON PROJECTIVEN TRANSFORMATIONEN.
Von Hans Mohrmann (Karlsruhe i. B.).
Estratto dal tomo XXXII (2 0 sera. 1911) dei Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.
Adunanza del 12 febbrajo 1911.
Einleitung.
Gestattet eine zweidimensionale algebraische Punktfläche F, eines N-dimensionalen
linearen projectiven Raumes R N eine continuierliche transitive r ) Gruppe von Collinea-
tionen, welche die F 2 in sich überführen, so ist sie nach einem Satze des Herrn Fano a )
rational, d. h. « im allgemeinen » eindeutig umkehrbar auf eine gewöhnliche Ebene
abbildbar. Bei dieser ebenen Abbildung geht die projective Gruppe der betrachteten F,
in eine zu ihr holoedrisch isomorphe Gruppe von CremonA’schen Transformationen
über. Nun lassen sich, wie Herr Enriques 1 * 3 ) gezeigt hat, alle endlichen continuierlichen
Gruppen von Cremon A’schen Transformationen der Ebene durch birationale Transfor
mationen auf 5 Typen (nebst ihren Untergruppen) zurückführen, nämlich 4 ):
1) die S-gliedrige Collineationsgruppe;
2) die 6-gliedrige Gruppe der quadratischen Transformationen mit 2 festen Punkten
(Gruppe der Kreisvenvandtschaften);
5) die (n -f- sfgliedrigen Gruppen von Jonquieres’sehen Transformationen n. Ord
nung, zueiche ein Strahlenbüschel in sich überführen.
Hieraus hat Herr Fano 5 ) dann den wichtigen Schluss gezogen, dass jede alge
braische Fläche mit einer continuierlichen transitiven Gruppe von projectiven Transfor
mationen derart auf eine Ebene oder auf eine nicht ausgeartete Fläche 2. Grades F\
oder endlich auf einen rationalen Normalkegel n. Ordnung K 2 (des R tl+ j) birational
abgebildet werden kann, dass der vorgelegten Gruppe eine ebenfalls projective Gruppe
1 ) d. h. eine solche, hei welcher 2 der Fläche angehörende Punkte allgemeiner Lage stets ineinan
der ühergeführt werden können.
a ) Fang, Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilung s-
priniip. [Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften, III, 1, S. 289-588], S. 507.
3 ) Enriques, Sui gruppi continui di trasformazioni cremoniane nel piano [Rendiconti della R. Ac
cademia dei Lincei, Bd. II, 1. Semester 1893, S. 468-473].
4 ) Fano, loc. cit. 3 ), S. 342.
5 ) Fano, Sulle superficie algebriche con un gruppo continuo transitivo di trasformazioni proiettive
in sè [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. X (1896), S. 1-15].
Reni. Circ. Matem. Palermo, t. XXXII (2 0 sem. 1911). — Stampato il *4 luglio 1911, !
