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geht aus dem Vorigen deutlich hervor; aber, daß manche 
Aufgaben auf quadratische Gleichungen hinführen, und doch 
nur eine einzige Größe ihren Forderungen Genüge leistet, 
wo also die zweite Wurzel der Gleichung als unstatthaft 
verworfen werden muß. In solchen Fällen zeigt der Um 
stand, wenn die Bedingungen der Aufgabe, durch algebrai 
sche Ausdrücke dargestellt, eine quadratische Gleichung zum 
Resultate geben, immer an, daß, wenn auch die eine der 
beiden Wurzeln den vorliegenden Bedingungen wider 
spricht, dieselbe Aufgabe, bei angemessen veränderten Bedin 
gungen, zwei Auflösungen zulasse. Beide Wurzeln thun je 
doch den algebraischen Formeln Genüge, wenn auch die 
Anwendung der einen, auf die Aufgabe selbst, auf Wider 
sprüche führen sollte. Die algebraische Auflösung steht also 
über der Aufgabe; sie umfaßt alle mögliche Falle der Auf 
gabe, sie mögen selbst nun in letzterer vorkommen oder nicht; 
und weit entfernt hierin mit manchen Halbkennern der 
Algebra eine Unvollkommenheit zu finden, hat man es viel 
mehr als einen wesentlichen Vorzug anzusehen. 
Wir wollen das Gesagte durch ein Beispiel verdeut 
lichen. In §. 227, Beisp. 2, wird /=50 und ——53 
gefunden. Es muß hier die Auflösung / — — 53 verwor 
fen werden, weil sie den Bedingungen der Aufgabe wider 
spricht, indem bei einer steigenden Progression, deren erstes 
Glied —2 ist, das letzte nie — — 53 werden kann. Den 
noch bringt /—50, und /==—53, nach Formel P (§.226), 
s—442; wodurch also der Formel ein Genüge geschieht, 
obschon nicht den Bedingungen der Aufgabe. Die Formeln 
verlangen bei /—-53 etwas Unmögliches, nämlich daß 
»——174 sey, welches zwar nicht der Algebra widerspricht, 
wohl aber der Wirklichkeit. Die Aufgabe wird jedoch bei 
veränderten Bedingungen zwei Auflösungen zulassen, wie