123 
dies z. B. geschieht bei «---—5, d— 2, s=z—8, wo 
k——3 und —-1-1/ welche beide Auflösungen gelten, 
weil die eine n=.2, und die andere n=4 voraussetzt, 
worin nichts Widersprechendes liegt. Eben so muß bei 
Beifp. 14 (§. 227) die Auflösung ti= — 17| verworfen 
werden, weil die Anzahl der Glieder einer Progression 
keine negative Größe seyn kann*). Die Formel G (§.226) 
muß aber zwei Auflösungen geben, weil sie alle mögliche 
Fälle der betreffenden Aufgabe umfaßt, und unter diesen 
Fallen viele sind, wo die aufgestellten Bedingungen zwei 
Auflösungen zulassen. Ein Beispiel dafür ist unter anderen 
*) Diese Auflösung widerspricht dem eigentlichen Sinne der 
Aufgabe; der Sinn der Auflösung ist jedoch eben so ungereimt 
nicht, als er auf den ersten Anblick erscheinen mag. Man denke 
si'cb nämlich die Progression, wo «=2 und cr—3 ist, nach beiden 
Seiten hin fortgeführt, und sie wird folgende Form annehmen: 
10, — 7, -4, -1, (2), 5, 8, 11/ 14... 
Nun verlangt die Aufgabe die Anzahl der Glieder, von der Linken 
zur Rechten gezählt, deren Summe ---442, und die Formel gibt 
für diese Forderung -r—17. Sie deutet aber zugleich an, daß 
diese Anzahl =17^ seyn könne, und da dieser Werth von n nega 
tiv ist; so muß die Richtung, nach welcher die unter ihr begriffe 
nen Glieder liegen, der Richtung der Glieder, deren Anzahl po 
sitiv ist, entgegen gesetzt, also von der Rechten zur Linken liegend, 
angenommen werden, und es wird das von er—2 zunächst rück 
wärts liegende Glied (hier —1) als das — Iste angenommen 
werden müssen. Differenz und Summe der rückwärts laufenden 
Progression können nicht anders als denselben Größen der vor 
wärts laufenden Progression entgegengesetzt seyn. Nach einer 
solchen Abänderung des ersten Gliedes, wodurch natürlich auch 
das letzte sich ändert, und nicht das seyn kann, welches die For 
mel 2 der Formeltafel gibt, und nach einer analogen Abänderung 
des letzten Gliedes, wenn sich dieses mit unter den gegebenen 
Größen befindet, wo dann das der Aufgabe nicht gemäße erste 
Glied, welches die Formel 19 gibt, ebenfalls umzuändern ist; ich 
sage nach einer solchen, freilich gezwungenen, Abänderung lösen 
sich die Widersprüche, welche bei den auf arithmetische Reihen sich 
beziehenden Formeln des zweiten Grades vorkommen können.