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welche in (1) für x gesetzt diese Gleichung in Null verwan
delt, und also eine Wurzel dieser Gleichung ist.
Der erste Theil der Gleichung (1) kann aus nicht
mehr und nicht weniger als den drei Faktoren von folgen
der Form bestehen: (.?■+• p) (x-t-q) (x+/ - )- Bei mehr
als drei Faktoren würde, x einen höhern als dritten Grad
erreichen; bei weniger als drei Faktoren würde es den drit
ten Grad nicht erreichen können.
Einer dieser Faktoren muß nach dem Vorigen reell
seyn; es sey x-\-p dieser reelle Factor. Nachdem man
die Gleichung (1) von diesem Factor getrennt, erhalt man
O(j) (o;-f-r)=:0. Die Entwickelung gibt eine quadra
tische Gleichung, die nach §. 345, entweder zwei reelle,
oder zwei imaginäre Wurzeln hat.
Es hat also jede kubische Gleichung entweder drei
reelle Wurzeln, oder eine reelle und zwei imaginäre.
Da (x-\-q) (a-hr)=0 entwickelt die Gleichung gibt
x i +C(/-hr)x-{-qr=zO, deren Wurzeln =
V -l- r
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zh\ ^— qr-\- j f<r ^-—j ^ sind; so sind in einer ku
bischen Gleichung zwei imaginäre Wurzeln enthalten, wenn
iq-hi'Y <4qr.
§. 360. Sind die Wurzeln einer kubischen Gleichung
folgende p, q, /•; so besteht die Gleichung selbst aus dem
Produkte folgender Faktoren (x — p') (x— q) O — r)=^Q.
Die Entwickelung dieses Products gibt
-t- (pq -f- p7‘ H- qr^x — pqr =.0. Der Coefficient des
zweiten Gliedes besteht also aus aus der Summe der drei
Wurzeln mit verändertem Zeichen, der Coefficient des drit
ten Gliedes aus der Summe der Produkte je zweier Wur-
zeln mit demselben Zeichen, und das absolute Glied aus