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nach dem Obigen seyn, wenn p, q und r reelle Größen 
sind, -|r 2 ;>p</; also auch (2) r 2 <!6-f-ir 2 / ober |r 2 <$, 
also auch ||r 6 <!& 3 , oder (4) |jb 3 ^>r r \ Aus (3) er 
hält man p<7 = —; da aber pt/<4r 2 , so ist 4?- 2 ; 
r v 
also \r z >n, und -jVr r ’>-w 2 , (5) r fi ;>16« 2 . Aus (4) 
und (5) zieht man ^b 3 ;>16/i 2 , oder 46 3 ;>27ai 2 . Wird 
diese Bedingung erfüllt, so sind die drei Wurzeln der vor 
gelegten Gleichung reell. Im entgegengesetzten Falle sind 
zwei derselben imaginär. 
Soll die Gleichung x* — hx+n =0 zwei gleiche 
Wurzeln haben, so müssen bei ihr folgende Bedingungen 
bestehen können: (1) pq=\r' 1 , und (2) p + v = /’. Aus 
(2) folgt p 2 -|-2p</ + <7 2 = r 2 , hiervon 4pq=r- abge 
zogen, bleibt p 2 — 2py+f/ 2 =0, also p — </=(), oder 
p = q — T i r, weil p-h </ = ;•. Es ist h = r 2 —pc/, also 
L—3p 2 , oder (3) ^=p 6 . Eben so ist pqr=n, also 
2p 3 =n, ober (4)p fi = ^p Aus (3) und (4) hat man 
, oder 46 3 =27n 2 . Ist also wirklich 4L 3 —27n 2 , 
so hat die Gleichung x a — hx^m=.0 wenigstens zwei 
gleiche Wurzeln. 
§. 363. Wir gehen jetzt zur eigentlichen Auflösung 
der cubischen Gleichungen über. Es bestehe die Wurzel 
einer cubischen Gleichung aus dem Vinomium a-+-b. Dann 
ifto: 3 = ct 3 -+-3rt 2 &+3ct& 2 +6 3 = st 3 Hh& 3 H-3st 2 6+3ö6 2 
= a* h 5 -{-Sah (« + &). Wird in letzterm Ausdrucke 
statt a-\-h der Werth x gesetzt, so erhält manx z =3ahx 
-+-« 3 + & 3 . Man weiß also schon, daß aus einer cubi 
schen Gleichung von der vorstehenden Form, die eine Wur