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zustellen, unter welchen einebiquadratische Gleichung in
zwei quadratische zerlegt werden könne, laßt also drei Auf
lösungen zu, und die Gleichung, auf welche sie führt, muß
demnach eine cubische seyn. Hieraus ergibt sich zugleich,
daß, welche Wurzel der cubischen Gleichung man auch für
m annehme, doch die beiden quadratischen Gleichungen die
selben vier Wurzeln geben werden, und daß dadurch nur
die Combination derselben verändert wird.
Die Gleichung (4) hat immer wenigstens eine positive
Wurzel. Setzt man nämlich j=0, so ist der Werth der
Gleichung — & 2 , setzt man hingegen j= GO, so ist der
Werth der Gleichung — oo . Eine ihrer Wurzeln muß dem
nach zwischen 0 und oo liegen, und also positiv seyn. Die
Zerfällung einer biquadratischen Gleichung in zwei quadra-
tische Factoren ist folglich immer möglich.
Sind imaginäre Wurzeln in einer biquadratischen Glei
chung enthalten, so müssen diese, wie die der quadratischeil
Gleichungen, die Form hd=k[/—1 haben, weit man diese
Wurzeln durch quadratische Gleichungen findet *).
*) Es mag scheinen, als könnten die im 8- 368. gefundenen
imaginären Wurzeln nicht auf diese allgemeine Form zurückgeführt
werden. Dies scheint aber nur so. Denn man setze, um nur mir
einem Falle zu thun zu haben, wornach denn auch die andern zu
behandeln sind:
h + k\/ — 1 ~\/_^\/ — i = —
also h 2 - k 2 -f-2hk 1/—1=V/—1.
Es ist hier, wenn die reellen Glieder dieser Gleichung mit
einander verglichen werden, h' * 1 — & 2 =0, also h=±k. Und fer
ner hat man, durch Vergleichung der imaginären Glieder,
2/r/'V/~l=i/— 1, oder 2ÜL----1; also 2A 2 = 1, oder h—d
i 4 l
und 2k 2 = 1, oder k—zh ——. Hieraus folgt \/ -■ i — -±. —r-
V 2 V -
± c ^V-l = ± i ^a±l/-0=—D-r gefun-