hieraus, daß m nur zwei reelle Werthe haben kann, welche
sich gleich sind, jedoch entgegengesetzte Zeichen haben. Die
Werthe von m 2 , oder die Quadrate jener 6 Werthe sind
von (1) und (6) 47* 2 , von (2) und (5) — (Ä+Ä') a , von
(3) und (4) — (k — k'y. Alle drei sind reell, und zwei
davon sind negativ. Die Gleichung (4) hat also in diesem
Falle zwei negative und eine positive Wurzel, und wir
begegnen wiederum dem irreductibeln Falle.
Hat also die Bedingungsgleichung (4) drei positive
oder eine positive und zwei imaginäre, oder eine positive
und zwei negative Wurzeln; so hat die biquadratische
Gleichung respective vier reelle, oder nur zwei reelle und
zwei imaginäre, oder vier imaginäre Wurzeln.
§. 375, Die Grundzüge der in §. 372 dargestellten
Auflösungsart haben wir Descartes zu verdanken *). Wir
geben hier ein Beispiel, um die Anwendung dieser Regel
auf besondere Fälle zu erleichtern.
Es sey die biquadratische Gleichung gegeben:
.r 4 + 3;c 2 +6.r+10=0. Sind ihre Wurzeln alle reell,
so werden alle vier negativ seyn; weil aber, wenn man
für das fehlende Glied :=p0x 3 setzt, die Gleichung zwei Ab
wechselungen und zwei Folgen, oder 4 Folgen hat, je nach
dem man das obere oder untere Zeichen gelten läßt, und
dieses sich widerspricht; so wird die Gleichung wenigstens
zwei imaginäre Wurzeln haben.
Um sie mit der Normalgleichung in §. 372 in Ver
bindung zu setzen, hat man a=3, b = 6, e—10. Die
Vedingungsgleichung der Zerlegung ist demnach: y 3 + 6j 2
— 31j —36=0. Diese Gleichung hat zwei Folgen und
*) Er lehrt diese Methode in seinem zwar kleinen aber ge
haltvollen Werke über die Geometrie 1637.