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IX. Allgemeine Eigenschaften der Gleichungen, 
Verwandlungen derselben, und die Eigenschaften 
ihrer Wurzeln. 
A. Die Eigenschaften der Gleichungen. 
§. 399. Jede Gleichung, welche durch x nicht theilbar 
ist, hat wenigstens eine von Null verschiedene Wurzel. 
Man kann jede Gleichung unter der allgemeinen Form 
x m 4-Ax m ' 1 -f- Bx”" 2 4- Cx m - 3 4-— -+-Px-i-Q = 0 
darstellen- Sollte das letzte Glied auch noch enthalten, 
so ist die ganze Gleichung, wenn /- die niedrigste Potenz 
von x bezeichnet, mit ^ theilbar, wodurch dieses Glied von 
x befreiet wird. Setzt man x=0, so wird die Gleichung 
Q=0, welches sich widerspricht, da H eine wirkliche Größe 
bezeichnet. Jede Gleichung, die nicht durch x r theilbar ist, 
hat also wenigstens eine Wurzel, welche von Null verschie 
den ist; und ist die Gleichung durch x r theilbar, so hat sie 
r Wurzeln, welche =0 sind. 
§. 400. Wenn a die Wurzel irgend einer Gleichung 
ist, so ist die Gleichung, auf Null gebracht, durch x—a 
theilbar. 
Man habe die Gleichung 
(1) x m 4- Ax m ' y 4- Bx m ~ 2 4- Gx m -'-‘ 4-.... 4- Px 4- Q=0, 
welche =0 wird, wenn man x=a setzt. Es werde nun 
(1) durch x — a dividirt, und diese Division so lange fort 
gesetzt, bis in dem Reste kein x mehr enthalten ist, was 
jedesmal thunlich ist. Es sey der Quotient Q', und der von 
x befreiete Rest ß'. Dann hat man die identische Gleichung 
x m 4- Ax m ~ l 4- Bx m - 2 4-... .4- ß*4- <? =(x—a) Q'4- R'. 
Es ist aber x — a=0, also auch (.r — a) (}'=0; 
daher auch 
x m 4- Ax m - 1 4- Bx m - 2 4-.... 4- Px 4- Q=R'.