3) Es ist schon oben bemerkt worden, daß wenn man
die Zeichen des zweiten, vierten, sechsten re. Gliedes einer
Gleichung in die entgegengesetzten verwandelt, die reellen
Wurzeln zwar dieselben bleiben, daß aber dadurch die posi
tiven in negative, und die negativen in positive verwandelt
werden *). Die Gleichung x* — l -£x 3 + — V#+f
— 0 (M. H. S. 149) hat die vier Wurzeln +^, +£,
+ 1, +3; und die Gleichung x* + l ~x 3 + + V-*
+f=0 wird dieselben Wurzeln haben, nur daß sie jetzt
negativ sind.
§. 408. Wenn man in einer gegebenen Gleichung für
x zwei solche Zahlen setzt, daß der Werth der Gleichung
für die eine Substitution von dem Werthe der Gleichung
für die andere Substitution ein verschiedenes Zeichen habe,
so hat diese Gleichung nothwendig eine reelle Wurzel, und
diese ist zwischen jenen beiden Zahlen enthalten.
Die gegebene Gleichung bestehe aus den Factoren
(1) (w—ä)(x — h) (x — c)(.x—J) .... = 0.
Man setze für x dessen zu substituirende Werthe, die
p und q seyn mögen, so hat man
(2) (p — a)(p — h)(p — c)(p — d)..*.= ±M.
(3) (7 — — 6)(</ — c)(<7 —d) ....==piV.
Die Resultate von (2) und (3) sind nach Annahme in
Hinsicht der Zeichen verschieden. Diese Verschiedenheit der
Zeichen kann nur dadurch entstehen, daß wenigstens ein
Factor in (2) mit dem correspondirenden in (3) ein ver
schiedenes Zeichen habe, so daß man z. B. haben werde
p-~k=±n, -und 7 — £=+«. Die Wurzel k muß
also zwischen p und 7 liegen, also größer als die kleinste
*) Man sehe nämlich x=—x, und verwandele bei Gleichun
gen von ungerader Ordnung alle Zeichen in die entgegengesetzte»/
so erhalt man diese Umänderung der Abwechselungen und Folgen.