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Ist nun eine Gleichung von beliebigem Grade gege 
ben, so hat sie, je nachdem ihre Ordnung gerade oder un 
gerade ist, einen reellen Factor vom zweiten oder ersten 
Grade. Nach Ausscheidung dieses Factors erhalt man 
eine Gleichung von gerader Ordnung, welche also einen 
reellen Factor vom zweiten Grade haben wird. So fort 
fahrend läßt sich jede gegebene Gleichung mit reellen Coef- 
ficienten in reelle Factoren vom ersten und zweiten Grade 
zerlegen, und ihre imaginären Wurzeln müssen demnach die 
Form AAz\A—i haben. 
Hieraus geht zugleich hervor, daß jede allgemein arith 
metische Veränderung, welche mit der Größe AdL\/i 
vorgenommen werden kann, auf die ihr analoge Form 
A'AzB‘\/—1 führen müsse. Denn bringt man die zu ver 
wandelnde Größe, den Forderungen gemäß, in einen alge 
braischen Ausdruck, und vergleicht sie mit x; so entsteht 
nach Wegschaffung der Wurzelgrößen eine Gleichung, deren 
Wurzeln, also die Werthe von x, keine andere Form als 
A'AlB X/—- 1 haben können ♦), 
*) Den ersten Beweis über den in diesem §. abgehandelten 
Satz hat D'Alcmbert gegeben/ in den Memoire* de i’Acad. de 
Berlin. 1746, und in feiner Schrift über die Ursache der Winde. 
Nach ihm bewies Euler denselben Satz in den Mem de l’Acad. de 
Berlin. 1749, wobei jedoch einige in dem Beweise von D'Alcm 
bert verbliebene Schwierigkeiten nicht beseitigt wurden. Foncenex 
umging diese Schwierigkeiten in einer Abhandlung in den Mis- 
cellaneis societatis Taurinensis, Tom. I, 1759. LagraNge hielt auch 
diesen Beweis für nicht strenge genug; er gab eine Eritik und 
Ergänzung des Beweises von Euler und Foncenex in den Mem. 
de l’Acad. de Berlin. 1772. Der einfachste Beweis unter allen 
scheint mir der zu seyn, den Laplace in den Betons de i’erole 
normale mitgetheilt hat, und dem wir oben im Wesentlichen ge 
folgt sind. Der Beweis ist einfach und strenge; freilich würden 
aber die vorgeschriebenen Operationen bei etwas hohen Gleichun 
gen in der Ausführung auf die größten Weitläufigkeiten führen.