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(p), dessen Tangente (pz) mit der Achse parallel kauft; 
die Tangente des Winkels qpz muß also unendlich, oder 
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—=ao, oder X —0 seyn. Die Gleichung X muß also 
zwischen den Grenzen a und b eine reelle Wurzel haben, 
so daß ihre Werthe für die Substitutionen x—a und x—h 
verschiedene Zeichen haben. Diese Wurzel (or/) kann also 
durch irgend eine Näherungsmethode beliebig genau berech 
net werden, da sie völlig getrennt vorhanden ist. 
Wenn die Curve die Achse zwischen den Grenzen a 
und h zweimal schneidet (Fig. 35); so sieht man leicht ein, 
daß außerhalb der Durchschnittspunkte die Subtangenten 
aa!, a‘a u , bb', b‘b" weder einzeln, noch auch paarweise 
summirt (««',-\-bV, oder a'a"-\-b'b''), wobei von ihrem 
Zeichen abgesehen wird, größer seyn können, als beziehungs 
weise die Abstande der Grenzen ab, a'b'. Wenn aber solche 
zwei Durchschnittspunkte nicht möglich sind (Fig. 36); so 
wird für Grenzen, die dem Punkte p nahe liegen, die Summe 
der Subtangenten a'a" + b'b", oder wohl gar die eine 
Subtangente a'a“ allein, größer seyn, als der Abstand der 
Grenzen a'b\ Tritt also dieser Fall ein; so ist das Daseyn 
zweier imaginären Wurzeln bewiesen. 
In den meisten Fällen entscheiden die Subtangenten 
oder die Trennung der Wurzeln bald, ob die Wurzeln ima 
ginär sind oder nicht. Liegen die Wurzeln sehr nahe zu 
sammen, oder kommt die Curve sehr nahe mit der Achse 
zur Berührung; so berechne man die reelle Wurzel der 
Gleichung X 1 sehr genau, und untersuche, ob für den Werth 
oq sich das Zeichen von X verändere, oder ob die Subtan- 
genten für ¿iw sehr nahe liegende Werthe q und q' in 
ihrer Summe den Abstand qq* übertreffen. Nur in sehr 
seltenen Fallen wird dies Verfahren eine Ungewißheit über