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dritten Näherungswerth a", und durch Substitution dieses 
Werthes für a den vierten Näherungswerts) re. 
Das hier gegebene Verfahren ist zu einleuchtend, als 
daß es nöthig seyn sollte, es durch Beispiele noch weiter 
zu verdeutlichen. Man findet jedoch Beispiele für dasselbe 
Seite 154 von M. H. 
§. 471. Auf den ersten Anblick scheint die hier mit 
getheilte Methode vollkommen ihrer Bestimmung zu ent 
sprechen. Und wirklich hat man sie in einer Reihe von Jah 
ren für untadelhaft gehalten, bis Lagrange sie einer ge 
nauern Prüfung unterwarf, und das Mangelhafte derselben 
darstellte ♦), 
Die Brauchbarkeit der Methode hängt nämlich ledig 
lich davon ab, daß wenn a ein Näheruugswerth von einer 
der Wurzeln der vorgelegten Gleichung ist, a+p dem 
Werthe von x sich mehr nähere, als «; oder x — a>x 
— a~p, wenn man von den Zeichen abstrahirt. Wir 
wollen untersuchen, ob diese Bedingung bei jeder Gleichung 
erfüllt werde. 
Es sey die Gleichung gegeben: 
x n —Ax n ‘ l Hh- Bx n ~ 2 — Cx’ 1 ' 3 + re. —0, deren Wurzel 
r, s, t, u re. seyn mögen. Dann ist auch 
(w—/') (x — s) (x — t) (x~~u) • • - =0. 
Setzt man nun in diesen Factoren a-\-p für w, und 
entwickelt das Product derselben, so findet man, dieses 
nach den Potenzen von p geordnet, eine Gleichung von 
der Form: 
0 — A'+B'p + Cy + K. 
und cs ist dabei, zufolge des binomischen Lehrsatzes: 
—(st — r) (« — s) (« — t) (st — u) • • • 
*) Traité de la résolution des équations numériques de tou» 
les degrés. Note Y.