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Um gegen diese Bedingungen nicht zu verstoßen, muß 
man die Näherungswerthe aller reellen, und der reellen 
Theile der imaginären Wurzeln kennen, und sich diese 
Kenntniß zu verschaffen, ist in vielen Fallen sehr schwierig *). 
§. 472. Der vorige §. lehrt, daß man nur mit Be 
hutsamkeit sich der Näherungsmethode von Newton bedie 
nen müsse, wenn man versichert seyn will, daß die folgen 
den Näherungswerthe der Wurzel näher kommen, als die 
vorhergehenden. Wenn man sich von der Trüglichkeit der 
Methode durch Erfahrung überzeugen will, so hat man nur 
eine Gleichung zu bilden für die Wurzeln r, s, t, u re., 
und zwar so, daß r—a, s — a, t—a re. sehr kleine Grö 
ßen seyen, und daß sie verschiedene Zeichen haben. — New 
ton wendet seine Methode auf die Gleichung j 3 —-2j—-5 
—0an, und setzt zuerst a—2. Er findet dadurch nach einan 
der a = 2, a'— 2,1 • -, 2,0946* *, —2,09455148 • • 
Der letztere Werth ist bis zur achten Decimalstelle richtig. 
Die Methode hat also schnell auf einen sehr genauen Nä 
herungswerts) hingeführt. Daß dies geschehen, kommt da 
her, daß der letzten der beiden obigen Bedingungen genügt 
worden ist, wovon man sich leicht überzeugen kann, wenn 
man die beiden imaginären Wurzeln der gegebenen Glei 
chung berechnet. 
*) Man findet noch mehrere wichtige Bemerkungen über öie 
Nähcrungsmethode von Newton in dem oft genannten Werke 
von Fourier. Es wird hier bewiesen, was auch leicht aus un 
sern obigen Erörterungen abzuleiten ist, daß nur dann eine Wur 
zel für die Anwendung der Methode genau genug begrenzt ist, 
wenn die drei letzten Kennziffern 0, o, i sind.