geben kann, welchen Grad der Genauigkeit der gefundene
Näherungswerts) erreicht habe. Man muß sich hier, wenn
man diese Genauigkeit bestimmen will, mit Versuchen behelr
fen. Man setze nämlich in der gegebenen Gleichung für x
den Näherungswerts) a'" oder a" n re., und sehe, ob der
Werth der Gleichung dadurch positiv oder negativ werde.
Man vermindere oder vermehre darauf die letztere Stelle
des Werthes von aoder re. um die Einheit, und
der Werth der Gleichung wird nun das entgegengesetzte
Zeichen haben, wenn der Näherungswerts) bis zur letzten
Decimalstelle richtig war.
§. 474. Die Methode Newtons laßt sich noch in einer
andern Ansicht betrachten.
Setzt man in der Gleichung ax n -h hx”' 1 -hex”' 2
■+-px-hcj=0, für x den Naherungswerth /• ein, und es
ergiebt sich daraus der Werth der Gleichung X\ so kann
man fragen, wie viel muß r verändert werden, damit X
verschwinde. Aendert man /- um die unendlich kleine Größe
dr; so verändert sich der Werth von X um
dr [nax’ 1 ' 1 -f- (n-1) hx’ 1 ' 2 + (n-2) ex 71 ' 3 + ... +p] — Xdr.
Bliebe nun die Aenderung von X der Aenderung von x pro
portional; so wäre die Correction von r—t
auch diese Proportionalität zwischen x und X nicht ganz
genau ist; so besteht sie doch annäherungsweise. Es kann
also r+/ als ein zweiter Näherungswerth r‘ von x an
gesehen werden, Berechnet man für /•' den Werth von X
und von X; so hat man wieder , und es ist