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Also v r = 2,09455148154232659148238654057930.
Die 32fte Dccimalstelle ist noch genau *).
Fourier weiset das Verfahren nach, wie Kennzeichen
für die Genauigkeit der Annäherung entwickelt werden kön
nen. Im Allgemeinen kann man annehmen, daß jede Ope
ration so viel genaue Stellen neu hervorbringt, als vor
derselben schon berechnet waren.
D. Die Näherungsmethode, auf Anwendung der
Ketten bräche beruhend **).
§. 475. Es sey die Gleichung gegeben:
(1) Ax n H- Bx"- 1 + Gr"' 2 + Dx' 1 ' 3 + ....+N=0,
deren Wurzeln gesucht werden sollen. Man habe ferner
auf irgend einem Wege gefunden, daß eine ihrer Wurzeln
zwischen p und /?+1 enthalten sey. Dann setze man x=p
1
-j—, und ordne den Werth der Gleichung (1) nach den
Potenzen von y. Man findet dann eine Gleichung von der
Form:
(2) A‘y n +B'y*' 1 4- C'j"' 2 + D'y"- 3 H h JV'=0.
1
Da nach Annahme — <1 ist, so muß j>1 seyn.
Die Gleichung (2) hat also wenigstens eine reelle positive
Wurzel, welche größer als die Einheit ist. Man finde, daß
die Wurzel dieser Gleichung zwischen q und <7+1 enthalten
*) Analyse des équations déterminées, par Fourier, p. 209—217.
**) Lagrange ist/ meines Wissens, der erste gewesen, welcher
sich der Kettenbrüche bediente, um NäherungSwerthe für die irra
tionalen Wurzeln einer gegebenen Gleichung zu berechnen. Seine
Methode ist ausführlich dargestellt in dem Traité de la résolution
des équations numériques de tous les degrés. Diesem Werke liegen
zwei Abhandlungen in den Mémoires de l’Académie de Berlin, pour
les années 1767 et 1768, von demselben Verfasser, zum Grunde.