74
Aufgabe 8. Es soll eine Formel für den kubischen
Inhalt eines Kugelabschnittes gefunden werden.
Auflösung. In der Stereometrie wird erwiesen, daß
(Fig. 9) der Kegel MENp + fcec Kugelabschnitt FGLK=
dem Cylinder FGIH sey, man mag die mit dem Durch
messer FG parallele Linie III so hoch und niedrig ziehen,
als man wolle.
Nun sey der Halbmesser der Kugel = r, die Höhe des
Kugelabschnitts pP=a, und das Verhältniß des Durch
messers zum Umkreise = i\n. Dann ist der Inhalt der
Halbkugel FPG=%r 3 n.
Die Grundfläche des Cylinders FGIH ist —r^n,
seine Höhe =r —«; also sein Inhalt — (r—a)/- 2 ^.
Der Kegel MENp wird also berechnet. Es ist
EP:P1)=EQ:QN
r Ir =r—a\x folglich
x—r—a, der Halbmesser der Grundfläche des Kegels.
Also n{j' — «) 2 , die Grundfläche
«)=t Höhe
\n(r—«) 3 der Inhalt des Kegels.
Also 0' — ß)r 2 7T — — «) 3 — Inhalt des Kugel-
stücks FGLK.
Und |r z n— [(r — a) r^n — — Inhalt des
Kugelabschnitts KPL.
Die Entwickelung und Reducirung der Formel für den
LT n ^
Kugelabschnitt gibt: (3r— a).
Um einen Kugelausschnitt zu berechnen, muß zu dem
Inhalte des gefundenen Kugelabschnitts, noch der Inhalt
des Kegels KELQ addirt werden. Die Grundfläche dieses
Kegels ist (da r — a\x=x',2a, oder x=\/(2ar—« 2 )