Man kann sich jeden regelmäßigen Körper in so viele
Pyramiden zerschnitten denken, als er Flachen hat. Diese
Pyramiden laufen mit ihren Spitzen im Mittelpunkte des
Körpers, oder auch im Mittelpunkte der Kugel, in der er
enthalten, zusammen. Die Berechnung der regelmäßigen
Körper hängt also von der Berechnung einer dieser Pyra
miden ab.
a) Berechnung des Tetraeders.
Es ist AG:EG=EG:GB
oder %a'.x=xi~a
also x=±aV2=EG
Nun ist AG 1 -+- EG 2 = AE 2
oder -frt 3 +1« 2 = AE';
folglich AE—\/^a 1 —\d\/§ die Seite des Tetraeders.
Es sey (Fig. 11) ABC die Grundfläche des Tetrae
ders. Man nenne der Kürze wegen AB=a\ Es ist aber
Ais—ins—Ai?
oder a'~~ la /2 z=AE z
also AE — a'\/'s
EB=z\af\
ft* 2 I
folglich der Inhalt des Dreiecks ABC — —.
4
Wird für a‘ dessen Werth = \a\/Q fu&ftituirt, so er
hält man für die Grundfläche des Tetraeders.
Es sey JD der Mittelpunkt der Grundfläche ABC.
n' 2 1X3
Der Inhalt beträgt = -—-—, folglich der Inhalt von
BCD:
a‘'-V3
, und die Höhe
12 * 2 =
«'1/3
6 ’
12
und AD—AE- V3—|«V3=i«V3.
Wird für «' sein Werth tt\/\ substituirt, so findet man