52. Drei ähnliche Felder über den Seiten des Urdreiecks. 1269 
Entsprechende Punkte Y { sind beispielsweise jetzt die Punkte, 
welche die Urseiten im gleichen Verhältnisse teilen [Indreiecke Nr. 32]. 
Entsprechende Geraden sind alle Ecktransversalen, die mit den Ur 
seiten gleiche Winkel bilden [Umdreiecke, Nr. 31], oder Parallele zu 
ihnen durch andere entsprechende Punkte der Urseiten, wie etwa die 
Mittelsenkrechten. Da sich diese Geraden in einem Punkte schneiden, 
so gehen sie durch die „unveränderlichen Punkte BDiese bilden 
jetzt das sog. „erste Brocardsehe Dreieck 4 '. Sein Umkreis, der Brocard- 
sche Kreis, ist also der Ähnlichkeitskreis (Nr. 51). Auf ihm bilden 
die Doppelpunkte D kl das „zweite Brocardsche Dreieck". Mit Hilfe 
dieser Zusammenhänge ergeben sich dann viele Folgerungen aus Nr. 51, 
von denen wir hier nur ein Beispiel geben. Jedes Dreieck Y liegt 
ja perspektiv zum Dreieck B mit dem Zentrum auf dem Kreise B. 
Folglich liegen auf dem Brocard sehen Kreise der Umkreismittel 
punkt U Q (Y x Y. 2 Y 3 =£ M 1 M 2 M 3 ), die Brocard sehen Punkte 345 ) £i und 
£1' (Y 1 Y 2 Y 3 : A 2 A 3 A 1 und Y x Y 2 Y s = A S A 1 A 2 ). Fallen die Punkte 
Y i in die unendlich fernen Punkte der Urseiten, so erhält man drei 
entsprechende Linien B { Y i} die auf den Geraden U 0 B i senkrecht stehen 
und also den, U Q auf dem Brocard sehen Kreise gegenüberliegenden 
Punkt L liefern. Das ist der Punkt von Lemoine, zugleich das Per- 
spektivitätszentrum von I) 2Z JD Z1 JD 12 und A 1 A 2 A 3 (als Dreiseit). 
Zu den Sätzen, die nur Anwendungen der allgemeinen Sätze 
von Nr. 51 sind, gesellen sich nun Sätze, die erst aufgestellt werden 
können, wenn ein Urdreieck mit doppelt homologen Ecken vor 
handen ist. 
So kann man fragen, wann ein Dreieck Y zum Urdreieck per 
spektiv liegt. Man erhält zwei Reihen von je oo 1 vielen Dreiecken: 
die Dreiecke von Kiepert und die von Neuberg. 
Die Ecken der Kiepert sehen Dreiecke sind die homologen Pun kte 
der Mittelsenkrechten. Sie bilden mit den Urseiten gleichschenklig ähn 
liche Aufsatzdreieckfe 346 ) (alle entweder nach außen oder nach innen). 
Besondere Dreiecke dieser Art sind das Mittendreieck, das erste Brocard 
sche Dreieck, das Dreieck der M’Cay sehen Mittelpunkte und das der 
345) Die Geraden £lA t , £IA S , SlA 1 sind also entsprechende Geraden und 
bilden daher mit A t A s , A s A 1 , A 1 A i die gleichen Winkel 
* SiA i A s = £lA s A 1 =£lA 1 A s . 
Ebenso für £1'. Diese Beziehung war der Ausgangspunkt für Brocard, auch schon 
für Crelle (Eigenschaften) und H. Hoffmann [Arch. Math. Phys. 9 (1847), p. 280]. 
346) Diese Dreiecke waren der Ausgangspunkt für Kiepert, Nouv. Ann. 
math. (2) 8 (1869), p. 40—42. 
Encyklop. d. math. Wissensch. III 1, 
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