52. Drei ähnliche Felder über den Seiten des Urdreiecks. 1271 
Ähnlichkeitspunkt und Kollineationszentrum. Die Bedeutung dieses 
Punktes für die Theorie dreier gleichsinnig über den Seiten des Ur 
dreiecks errichteter ähnlicher Figuren ergibt sich daraus, daß er Ko 
ordinaten hat, die den Urseiten, d. h. also entsprechenden Strecken 
der Felder proportional sind. Jedes Tücher sehe Dreieck liefert mit 
dem Urdreieck drei unendlich ferne und sechs endliche Schnittpunkte. 
Diese liegen auf einem Tücher sehen Kreise (Nr. 45). 
Jedes beliebige Dreieck Y läßt sich als das Indreieck eines Tücher - 
sehen Dreiecks auffassen (man braucht ja nur die Parallelen durch 
zu a { zu ziehen), und zwar als Fußpunktdreieck (in höherem Sinne, 
wo die Lote durch gleichgeneigte Geraden ersetzt sind) desjenigen 
Punktes S auf dem Brocard sehen Kreise, in dem sich die drei homo 
logen Geraden B t Y. schneiden. Den Punkten B i} Y i und S des Tucher- 
schen Dreiecks entsprechen die Punkte Bf, Yf und S' — Y des Ur 
dreiecks, und zwar liegt Y auf SL. Das Fußpunktdreieck yon Y im 
Urdreieck ist dem Dreieök Y\YJYJ (Nr. 32), also auch dem Drei 
eck Y 1 Y i Y 3 ähnlich. Aus Y lassen sich die Punkte Y i in symmetri 
scher Weise konstruieren: Man projiziert Y aus L in den Punkt S 
des Brocard sehen Kreises; die Parallelen durch Y zu SB i schneiden 
die Urseiten in Y t ', und die Geraden SB t und LYf schneiden sich 
in Y { . Die drei Verwandtschaften sind Kreisverwandtschaften, wie 
zu erwarten war 344 ). Es entsprechen sich darin z. B. die folgenden 
Punkte: 
Y 
Y t 
V, 
Y s 
00 
A 
A 
A 
L 
00 
00 
00 
U 
M s 
Sl 
A 
A 
A 
Sl’ 
A 
A 
A 
A 
A 
A 3 
As 
A 
Ai 
. A 
Ai 
A 
As 
As 
A 
Nach dieser Tabelle entsprechen sich also der Brocard sehe Durch 
messer U 0 Loo und die Mittelsenkrechten M i B i oo 3iS ), der Umkreis 
A 1 A 2 A 3 und die MdCaysehen Kreise B i D a I) il , der Brocardsche Kreis 
£liVU 0 L und die Urseiten A lc A l M i oo. Auf eine weitere Darstellung 
der Beziehungen kann nicht eingegangen werden. Die Hauptsache 
war, auch im einzelnen zu zeigen, welch inniger Zusammenhang 
zwischen Fußpunktdreieck und drei gleichsinnig ähnlichen Feldern 
besteht. 83 
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