174 F. Gossot et B. Liouville. IV 22 a. Développements de balistique. 
être substituées, par un choix convenable des inconnues, mais sans 
modification vraiment essentielle, elle semble devoir être regardée 
comme la base des théories balistiques modernes* 
E. Propriétés de l’équation différentielle du mouvement et 
variables caractéristiques. 
+ Les propriétés les plus importantes de l’équation différentielle du 
mouvement du projectile sont celles qui ont été remarquées d'abord par 
E. Sarrau 35 ) ; elles consistent en une homogénéité particulière, qui peut 
être ainsi définie: Si l’on multiplie par une constante h le calibre a 
du canon, la longueur de parcours u, le temps correspondant t, et la 
durée t de combustion du brin de poudre, par & 3 le volume total de 
l’âme, le poids de la charge de poudre 5J et le poids p du projectile, 
toutes autres quantités demeurant les mêmes, les équations ne sont 
pas changées. 
Cette homogénéité n’est nullement, on le voit, celle qui se rap 
porte aux dimensions de même espèce. 
E. Sarrau en a déduit, en opérant sur les formules finales qu’il 
avait obtenues, des observations importantes pour la pratique, mais il 
n’en a pas profité pour donner aux équations différentielles du problème 
leur forme la plus commode. Pour le faire, il faut introduire, au lieu 
des inconnues et des variables naturelles, quelques-unes de leurs com 
binaisons, dont le degré d’homogénéité est égal à zéro. On s’aperçoit 
alors que le développement employé par E. Sarrau est équivalent à une 
série ordonnée selon les puissances d’un paramètre numérique; le 
premier terme fait connaître ce qui aurait lieu si l’on pouvait faire 
usage d’une poudre «parfaitement aplatie et régulière», c’est-à-dire à 
émission constante. 
L’équation différentielle, du second ordre, qui détermine ce pre 
mier terme est simple; elle jouit elle-même d’une homogénéité, grâce 
à laquelle son ordre peut être abaissé d’une unité. On est donc tenté 
de conclure qu’ainsi se trouve ouverte une voie commode pour la 
discussion complète du problème. Si Pon admet en effet, comme 
première approximation, que la poudre dont on se sert donne une 
émission constante (sous pression invariable), ce qui n’est peut-être 
pas très éloigné de la vérité, toute la question se réduit à Fintégration 
d'une équation différentielle du premier ordre, appartenant au type 
des équations d’Abel, le plus simple d’aspect après celui des équa 
tions de Riccati. 
35) ^Mémorial de l’artillerie de la marine 1 (1873), p. 743; 4 (1876), p. 131.*