9. Réduction du problème à des équations différentielles intégrables. 35 
En réalité, F. Siacci 10 ) a récemment fait connaître 14 nouvelles 
fonctions qui permettent de ramener le problème à des quadratures. 
Trois de ces nouvelles fonctions F(v) renferment 4 constantes 
arbitraires, les autres 11. On n’a pas encore recherché si l’une de 
ces nouvelles formes était applicable aux buts pratiques de la balis 
tique. 
La forme donnée par C. G. J. Jacobi iV ) à la solution dans le cas 
où F(v) = a + bv n est la suivante: 
D’abord, de la première équation (2) résulte, entre v et 6 la relation 
où l’on pose 
C se détermine en remplaçant v et 6 par Y et rp. 
Les quatre autres équations (2) prennent, grâce à cette substi 
tution, la forme 
, o * dè j a |* —1 àl 
gdx = — 2v 2 yyy 1 gdy = - v* y 
di 7 2 dè 
gdt = — v-^i gels =— v f' 
Pour a — 0 et n = 3 ou n = 4, l’intégration de ces équations conduit 
à des intégrales elliptiques dont A. G. GreenhüV 2 ) et N. Zabudskij 70 71 72 73 74 75 ) ont 
tiré parti. P. A. Mac Mahon ï4 ) et N. Zabudskij 73 ) ont construit des 
tables pour l’application des formules ainsi obtenues. 
de Sparve™) a donné d’autres solutions que celle de A. G. 
70) C. R. Acad. sc. Paris 132 (1901), p. 1175; 133 (1901), p. 381; Rivista 
di artiglieria e genio 1901 III, p. 5; id. 1901 IY, p. 5. 
71) J. reine angew. Math. 24 (1842), p. 25; Werke 4, Berlin 1886, p. 286. 
Pour F{v) = cv n voir déjà Jean Bernoulli**); W. Schell, Theorie der Bewegung 
und Kräfte (2 e éd.) 1, Leipzig 1879, p.368; P. de Saint Bobert, Mém. scientif. 48 ) 
1, p. 94; F. Siacci, Balistique extérieure 26 ), p. 26. 
72) Proc. Artillery Institution (Woolwich) 11 (1882), p. 131, 589; 12 (1882), 
p. 17; 14 (1886), p. 373; 17 (1889), p. 181. 
73) O rësénii zadac navësnoj strëlïy 64 ), p. 34; Ynësnïa balistika 1 ) 1, p. 550; 
voir aussi L. Austerlitz [Sitzgsb. Akad. Wien 8411 (1881), p. 794] qui envisage le 
cas où F{v) = v*. Pour le cas a = 0 avec n = 0 ou n= 1, voir J. M. IngaUs, 
Handbook of problems in exterior ballistics, Washington 1900, p. 232/4. 
74) Relativement aux tables de P. A. Mac Mahon, voir A. G. Greenhill, 
Proc. Artillery Instit. Woolwich 12 (1882), p. 26, 231, 289. 
75) ^Mémorial de l’artillerie de la marine 27 (1899), p. 427 et suiv. et p. 817 
et suiv. 
Enoyclop. des scienc. mathémat. IV 6. 3