12. Résolution exacte des équations différentielles approchées. 
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une série d’autres essais d’approximation pour arriver à séparer les 
variables. 
J. G. Borda recommande, entre autres, de remplacer la densité de 
l’air ô par une fonction convenable de 6, 
8 cos 6 
cos (f 
ce qui convient pour le commencement de la trajectoire. 
De cette façon, l’intégration relative à la loi de résistance de 
l’air (dans le cas de la deuxième puissance) est rendue possible. 
A. M. Legendre 98 99 ) multiplia la densité de l’air, non par ce facteur 
cos 6 
} mais par 
COS qp r 
qui se réduit à l’unité pour 6 = + <p et pour 0 = 0, si bien qu’en 
trois points de la trajectoire la densité de l’air introduite dans le 
calcul se confond avec la densité réelle. 
J. F. Français objecta à ce procédé de A. M. Legendre ce fait 
que le multiplicateur de A. M. Legendre devient infini pour 0 = ^ ; 
c’est pourquoi il prend comme multiplicateur de la densité de l’air 
l’expression 
où les constantes a et h sont à déterminer suivant les cas. 
I. Bidion"), qui publia les travaux de J. F. Français, montre que 
le procédé de J. F. Français, dans les mêmes circonstances de calcul, 
est susceptible d’une plus grande exactitude que celui de A. M. Legendre. 
31. de Sparre d9a ') a résolu l’intégration, dans le cas de n = 4, à 
l’aide de fonctions élémentaires; par un artifice analogue à celui de 
Borda dont il sera question plus loin il pose 
ô étant la densité de l’air au point d’ordonnée y et <3 0 la densité de l’air 
98) Diss. balistique 81 ); J. Ec. polyt. (1) cah. 11 an X, p. 204 (exposé de 
Moreau) et Journal des armes spéciales 1845, p. 537, 600; id. 1846, p. 32. 
99) Cf. Balistique 78 ), (l re éd.) p. 159; (2 e éd.) p.214 (critique de la méthode 
de A. M. Legendre); et (l re éd.) p. 168, (2 e éd.) p. 224, 247 (relativement aux 
travaux de J. F. Français); voir aussi, pour le procédé de I. Didion employé 
récemment de nouveau pour le cas spécial de la loi quadratique, W. Heydenreich, 
Schuss und Schusstafeln 44 ) 2, p. 85. 
99 a ) M. de Sparre, Mémorial de l’artillerie de la marine 20 (1892), p. 619