ELEMENTORUM LIBER X. 
89 
quadratus ad numerum quadratum [lemma I], ne BA 2 
quidem ad AT? rationem habet, quam numerus qua 
dratus ad numerum quadratum, quare AB, AZ longi 
tudine incommensurabiles sunt [prop. IX]. itaque 
BA, AZ rationales sunt potentia tantum commensu 
rabiles. et quoniam AF: FE — BA 2 : AZ 2 , conuer- 
tendo erit [Y, 19 coroll.] FA : A E — AB 2 : BZ 2 [cfr. 
III, 31. 1,47]. sed FA:AE rationem habet, quam 
numerus quadratus ad numerum quadratum, quare 
etiam AB 2 :BZ 2 rationem habet, quam numerus qua 
dratus ad numerum quadratum, itaque AB, BZ longi 
tudine commensurabiles sunt [prop. IX]. et AB 2 = AZ 2 
-j- ZB 2 [III, 31. I, 47]. itaque AB 2 excedit AZ 2 qua 
drato rectae BZ sibi commensurabilis. 
Ergo inuentae sunt duae rationales potentia tan 
tum commensurabiles BA, AZ eius modi, ut maior 
AB quadrata minorem AZ excedat quadrato rectae 
BZ sibi longitudine commensurabilis; quod erat de 
monstrandum. 
XXX. 
Inuenire duas rationales potentia tantum commen 
surabiles eius modi, ut maior qua 
drata minorem excedat quadrato 
rectae sibi longitudine incommen 
surabilis. 
Ponatur rationalis AB et duo 
numeri quadrati FE, EA eius 
modi, ut numerus ex iis compositus FA quadratus non 
r 
v- 
E 
B 
sSbi tfsì|ort] P, om. BFb. Seq. lemma, u. app. 23. ¿ql&- 
ftoi] om. FV. 24. róv] (alt.) zàv b.