ELEMENTORUM LIBER X. 
123 
A Nam, si fieri potest, in A diuidatur ita, ut 
etiam AA } AB rationales sint potentia tantum 
commensurabiles, manifestum est igitur, AF et 
AB easdem non esse, sint enim, si fieri potest, 
itaque etiam A A et FB eaedem erunt, et erit 
..p AF:FB = BA:AA, et AB etiam in A eodem 
modo ac in F diuisa erit, id quod contra bypo- 
thesim est. quare AF, AB eaedem non sunt. 
~ B ea de causa F, A puncta a medio puncto 
aequaliter non distant [cfr. lemma]. quo igitur 
AF 2 -{- FB 2 ab A A 2 -f-AB 2 differt [u. lemma], eo 
etiam 2AA X AB a 2 AF X FB differt, quia AF 2 
+ FB 2 + 2 AFX FB = AB 2 = A A 2 + AB 2 + 2 A A 
X AB [II, 4]. uerum AF 2 + FB 2 ab A A 2 + AB 2 
spatio rationali differt; nam utrumque rationale est. 
itaque etiam 2 A A X A B a 2 AFxFB spatio ratio 
nali differt, quamquam media sunt [prop. XXI]; quod 
absurdum est; nam spatium medium non excedit me 
dium spatio rationali [prop. XXYI]. 
Ergo recta ex duobus nominibus non diuiditur in 
punctis diuersis; itaque in uno tantum diuiditur; quod 
erat demonstrandum. 
XLIII. 
Recta ex duabus mediis prima in uno tantum 
puncto diuiditur. 
xn. rec. P. rcov] om. P. A F, FB] Az/, AB P. 15. AB] 
supra scr. A b. 16. Post FB ras. magna Y. rmv] corr. ex 
tm b. 17, ¿pa] supra scr. m. 2 F. A AB P, corr. m. rec. 18. 
AFB Pb, corr. m. rec. 19. oitsq ixronov] om. Theon fBFVb). 
ydp] ds Theon (BFYb). 21. difQsCrcu P, corr. m. rec. 
otcsq sdii $Et|ca] comp. P, om. BFYb. 25. dioaQSLrca sis 
rcc ov6fiazci Theon (BFYb).