ELEMENTORUM LIBER X. 
125 
Sit AB ex duabus mediis prima in F ita diuisa, 
ut AF, FB mediae sint potentia tantum commensura- 
, , , biles spatium rationale com- 
A J r B prehendentes [prop. XXXVII]. 
dico, AB in nullo alio puncto diuidi. 
nam, si fieri potest, in A ita diuidatur, ut etiam 
AA, AB mediae sint potentia tantum commensura 
biles spatium rationale comprehendentes, iam quo 
niam, quo differt 2 A A X A B a 2 A Fx FB, eo differt 
AF 2 -f- FB 2 ab A A 2 A B 2 [prop. XLI lemma], et 
2AAXAB a 2 AFxFB spatio rationali differt 
(nam utrumque rationale est), etiam AF 2 -(- FB 2 ab 
AA 2 -\-AB 2 spatio rationali differt, quamquam media 
sunt; quod absurdum est [prop. XXVI]. 
Ergo recta ex duabus mediis prima in nomina non 
diuiditur in punctis diuersis; itaque in uno tantum 
diuiditur; quod erat demonstrandum. 
XLIY. 
Recta ex duabus mediis secunda in uno tantum 
puncto diuiditur. 
Sit AB ex duabus mediis secunda in F diuisa, 
ita ut AF, FB mediae sint potentia tantum commen 
surabiles spatium medium comprehendentes [prop. 
XXXYIII]. manifestum est igitur, F punctum medium 
non esse, quod longitudine commensurabiles non sunt, 
dico, AB in nullo alio puncto diuidi. 
nam, si fieri potest, etiam in A diuidatur, ita ut 
Theon (BFVb), 23. sgtiv B. rr t v dcxorofiiav Y. cm] 
snsidrinsQ Theon (BFYb). siaiv PB. 26. y.cu'1 om. Theon 
(BFVb).