ELEMENTORUM LIBER X. 
127 
AF, AB eaedem non sint, sed AF maior supponatur 
(manifestum est igitur, esse etiam A A 2 -f- AB 2 < A F 2 
-f- FB 2 , ut supra demonstrauimus [prop. XLI lemma]), 
et ut A A, AB mediae sint potentia tantum commen 
surabiles spatium medium comprehendentes, et pona- 
i 1—i 1 
A J F B 
E 
Z 
M 
-, N 
K 
H 
tur rationalis EZ, et quadrato AB 2 aequale rectae 
EZ parallelogrammum rectangulum EK adplicetur [I, 
44], quadratis autem AF 2 -f- FB 2 aequale auferatur 
EH. itaque quod relinquitur, &K = 2 AF X FB 
[II, 4]. rursus quadratis A A 2 -f- AB 2 (quae minora 
esse quam AF 2 -f- FB 2 , demonstrauimus) aequale aufe 
ratur EA. itaque MK—2AAXAB. et quoniam 
AF 2 -f- F B 2 media sunt, EH medium est. et rectae 
rationali EZ adplicatum est. ergo E& rationalis est 
et rectae EZ longitudine incommensurabilis [prop. 
XXII]. eadem de causa etiam &N rationalis est et 
rectae EZ longitudine incommensurabilis, et quoniam 
AF, FB mediae sunt potentia tantum commensurabiles, 
AF et FB longitudine incommensurabiles sunt, sed 
A F : F B — A F 2 : A F X FB [prop. XXI lemma], itaque 
etiam AF 2 et A Fx FB incommensurabilia sunt [prop. 
saxi reo P. 13. saxF} in ras. m. 1 b, saxiv B. 14. h ai to] 
to BFVb. 16. 0N] EH h, EN in ras. m. 1 P. 17. saxiv P. 
18. siaiv B. 19. FS] BE B. 20. FB] in ras. Y. 21. 
avfiusxQov V, corr. m. 1. AF] A e corr. V. 22. allá] 
supra ser. m. 1 V. tea] corr. ex to m. 1 F. tc5 ¡xsV] e 
corr. Y. 23. FB] B eras. B.