ELEMENTORUM LIBER X. 
179 
Ergo recta spatio rationali et medio aequalis 
quadrata est [prop. XL], et M& 2 = AF-, quod erat 
demonstrandum. 
LIX. 
Si spatium recta rationali et recta ex duobus no 
minibus sexta comprehenditur, recta spatio quadrata 
aequalis irrationalis est duobus spatiis mediis aequalis 
quadrata, quae uocatur. 
Spatium enim ABFA comprehendatur recta ra 
tionali AB et recta ex duobus nominibus sexta A A 
in E in nomina diuisa, ita ut maius nomen sit A E. 
dico, rectam spatio AF aequalem quadratam rectam 
esse duobus spatiis mediis aequalem quadratam. 
comparentur eadem, quae in superioribus demon 
strationibus. manifestum est igitur, esse M& 2 = AF, 
et MN, N& potentia in 
commensurabiles esse [p. 176, 
6 sq.]. et quoniam EA, 
A B longitudine incommen 
surabiles sunt [deff. ait. 6], 
EA et AB rationales sunt 
potentia tantum commensu 
rabiles. itaque AK, hoc 
est MN 2 -f- N& 2 , medium 
est [prop. XXI]. rursus quo 
niam EA, AB longitudine incommensurabiles sunt 
[deff. ait. 6], ZE et EK incommensurabiles sunt [prop. 
XIII]. quare ZE, EK rationales sunt potentia tan 
tum commensurabiles, itaque EA, hoc est MP siue 
MN X N& } medium est [prop. XXI]. et quoniam 
A E, EZ incommensurabiles sunt, etiam AK, EA 
12*