ELEMENTORUM LIBER X. 
209 
quoniam est AE: FZ = EB: Zz/ et permutando [Y, 16] 
AE: EB = FZ : ZA, etiam componendo erit [Y, 18] 
AB:BE=FA:AZ. quare etiam AB 2 : BE 2 = FA 2 :AZ 2 
[YI, 20]. iam similiter demonstrabimus, esse etiam 
AB 2 : AE 2 = FA 2 : FZ 2 . 
quare etiam AB 2 : AE 2 + EB 2 = FA 2 :FZ 2 + ZA 2 . 
permutando igitur [V, 16] 
AB 2 : FA 2 = AE 2 + EB 2 : FZ 2 + ZA 2 . 
uerum AB 2 , FA 2 commensurabilia sunt, itaque etiam 
A E 2 -f- EB - et FZ 2 -f• Z A 2 commensurabilia sunt 
[prop. XI]. et AE 2 -j- EB 2 rationale est, et 1 ) FZ 2 
+ ZA 2 rationale, eodem modo etiam 2AEXEB 
et 2FZxZA commensurabilia sunt, et 2 AExEB 
medium est. itaque etiam 2FZXZA medium est 
[prop. XXIII coroll.], itaque FZ, ZA potentia incom 
mensurabiles sunt [prop. XIII; cfr. p. 206, 15 et 22] effi 
cientes summam quadratorum rationalem, rectangulum 
autem medium, itaque tota FA irrationalis est maior, 
quae uocatur [prop. XXXIX]. 
Ergo recta maiori commensurabilis maior est; quod 
erat demonstrandum. 
LXIX. 
Recta rectae spatio rationali et medio aequali qua 
dratae commensurabilis ipsa spatio rationali et medio 
quadrata aequalis est. 
1) Post ZA lin. 13 Augustus non male addidit ccqcc. 
sgxl fisGov] fisaov 88 Y. 16. FZ] supra add. E b. JTZ] 
F in ras. m. 2 P, supra scr. E b. 17. slglv ugv[i(istqol BFYb. 
8LGLV P. 19. 7] olui Vb. 21. onsQ s8sl dftlca] comp, P, 
om. BFYb. 24. qt]t6v] -ov in ras. B. 25. wed aurij] om. P, 
Euclides, edd. Heiberg et Menge. III. 14