ELEMENTORUM LIBER X. 
241 
Euclides, edd. Heiberg et Menge. III. 
16 
-A Sit enim AB mediae apotome prima ; et rectae 
AB congruat BF. itaque AF, FB mediae sunt 
■■■B potentia tantum commensurabiles spatium rationale 
comprehendentes AFxFB [prop. LXXIY]. dico, 
rectae AB nullam aliam mediam potentia tantum 
- r toti commensurabilem congruere cum tota spatium 
-d rationale comprehendentem. 
nam si fieri potest, etiam AB congruat. A A, AB 
igitur mediae sunt potentia tantum commensurabiles 
spatium rationale comprehendentes AAX AB [prop. 
LXXIY]. et quoniam est 
{A A' 2 + AB 2 ) -^2 AAxAB = (.AF 2 + FB 2 )-~2 AFxFB 
(nam eodem spatio AB 2 excedunt [II, 7]), permutando 
erit 
{A A 2 + AB 2 ) -e- (AF 2 + FB 2 ) = 2AAxAB + 2 AFx FB. 
uerum 2AA X AB excedit 2 AFxFB spatio rationali; 
nam utrumque rationale est. itaque etiam A A 2 -f- A E 1 
excedit AF 2 -f- FB 2 spatio rationali; quod fieri non 
potest; nam utraque media sunt [prop. XXIY], medium 
autem non excedit medium spatio rationali [prop. XXYI]. 
Ergo mediae apotomae primae una tantum recta 
media congruit potentia tantum toti commensurabilis, 
cum tota autem spatium rationale comprehendens; 
quod erat demonstrandum. 
¿%ovgiv LBF. rc5] xd b. 15. rcc] v.cd xd LB. 17. to] 
xd P. 18. to 8s — 19. jTR] v,ai Y, 20. xsxquycdvoav] om. P. 
21. vtisqs^el P, £ supra scr. B. 22. if] ydq L. 23. fisarj 
uel [Isar] LBFYb. 25. ousq e8el dst|ai] comp. P, om. 
LBFYb.