ELEMENTORUM LIBER X. 
291 
ZK=N&. itaque etiam EK—MN. uerum MN=A8 
[I, 43], EK = AO, quare etiam AK=TOX-\-N8 
est autem etiam 
AK = AM+ N%. 
itaque reliquum AB = 2JT= AN 2 , ergo AN quadrata 
spatio AB aequalis est. 
dico, AN mediae apotomen esse secundam, nam 
quoniam demonstrauimus, AI, ZK media esse, et 
AI=A0 2 , ZK—ON 2 , etiam utrumque AO 2 , ON 2 
medium est. quare utraque AO, ON media est. et 
quoniam AI, ZK commensurabilia sunt [VI, 1; prop.XI], 
etiam AO 2 , ON 2 commensurabilia sunt, rursus quon 
iam demonstrauimus, AI et EK incommensurabilia 
esse, etiam AM et MN, boc est AO 2 et AOxON, 
incommensurabilia sunt, quare etiam AO, ON lon 
gitudine incommensurabiles sunt [YI, 1; prop. XI]. 
ergo AO, ON mediae sunt potentia tantum commen 
surabiles. iam dico, easdem spatium medium com 
prehendere. nam quoniam demonstrauimus, EK medium 
esse, et EK= AOxON, etiam AOxON medium 
est. quare AO, ON mediae sunt potentia tantum 
commensurabiles medium comprehendentes, itaque AN 
mediae apotome est secunda [prop, LXXY]. et spatio 
AB aequalis est quadrata. 
Ergo recta spatio AB aequalis quadrata mediae 
apotome est secunda; quod erat demonstrandum. 
rav P, 14. bgxlv P. MN~\ NM P. 15. tco] corr. ex ro 
m. 1 P. 16. siCLV P. 18. 7tBQLE%ovacu V. 19. yci^] oin, 
Pb, m. 2 B. 20. [iscov — 21. ON (prius)] mg. Y. 22. 
GVflEXQOL P. AN\>. \iBGiq BPYb. 23. saxiv P. %G)qCov] 
om. Theon (BPYb). 24. fiscri BPYb. 25. onso b8sl 8si^ul] 
comp. P, om. BPYb. 
19