ELEMENTORUM LIBER X. 303 
i9 
spatium figura quadrata deficiens, et sit AZ X ZH. 
itaque AZ, ZH longitudine incommensurabiles sunt, 
est autem AZ : ZH = AI: ZK [VI, 1]. itaque AI, 
ZK incommensurabilia sunt [prop, XI]. et quoniam 
AH, AF rationales sunt potentia tantum commensu 
rabiles, AK medium est [prop. XXI], rursus quoniam 
AF, AH rationales sunt et longitudine incommensu 
rabiles, etiam AK medium est [id.], quoniam igitur 
AH, HA potentia tantum commensurabiles sunt, AH 
et HA longitudine incommensurabiles sunt, est autem 
AH: HA = AK:KA [VI, 1]. itaque AK, KA in 
commensurabilia sunt [prop. XI]. construatur igitur 
quadratum AM— AI, et spatio ZK aequale auferatur 
N¡¡¡1 in eodem angulo positum, itaque quadrata AM, 
NS circum eandem diametrum posita sunt [YI, 26]. 
sit OP eorum diametrus, et describatur figura [uol. I 
p. 137 not.]. eodem igitur modo, quo supra, demon 
strabimus, esse AIS 2 = AB. 
dico, AN rectam esse cum medio totum medium 
efficientem, nam quoniam demonstrauimus, AK me 
dium esse, et AK= AO 2 -\- ON 2 , AO 2 -(- ON 2 medium 
est. rursus quoniam demonstrauimus AK medium esse, 
et AK = 2AOxON, etiam 2AOXON medium 
est. et quoniam demonstrauimus, AK et AK incom 
mensurabilia esse, etiam AO 2 -\- ON 2 et 2 AOxON 
incommensurabilia sunt, et quoniam AI, ZK incora-