L. EULER1 OPERA ARITHMETICA. 1775. 
154 
proposita pp— 30qq, vel 30pp — qq ad duas tantum classes priores revocari possunt: semper enim 
erit vel D = F, vel 2 D = F. 
§ 4i. Coroll. 3. Omnes igitur numeri primi ex nostra forma 120i±a oriundi duplicis 
erunt generis, dum vel ipsi vel eorum dupla formam propositam habere possunt, quos simili modo 
ut ante distingui conveniet, subscribendo singulis valoribus characteres vel 1, vel 2 
1, 7, 13, 17, 19, 29, 37, 49 
1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1. 
Ubi notetur, ambos characteres totidem occurrere. 
§ 42. Scliolion. Quod si ergo pro numeris cujuscunque formae pp dt nqq omnes divisores 
primi desiderentur, eos facillime ex nostra forma generali \ni-\-a assignare licet, dum contra, si 
formulis ab illustri La Grange exhibitis uti vellemus, opus foret maxime molestum, ex singulis 
formis frr -+- 2grs -+- hss omnes numeros primos elicere; quamobrem maxime est optandum, ut 
demonstratio firma illius mei asserti detegatur, quippe quo demum ista theoria ad summum per 
fectionis gradum evehetur. Arbitror autem, talem demonstrationem mox fortasse sperari posse, si 
sequentia momenta probe perpendantur. 
1) Postquam pro formula proposita quacunque pp =t nqq ambae meae formulae 4/ii-i-a et 
4/iiH-a fuerint constitutae, eae simul omnes plane numeros impares ad propositum /i primos com 
plectuntur; tum vero omnes divisores ad formam priorem 4/ii’n-a referuntur; nulli autem numeri 
alterius formae 4ni-^-a possunt esse divisores propositae, sive omnes numeri posterioris formae ex 
classe divisorum penitus excluduntur. 
2) Probe perpendatur, quovis casu omnes valores ipsius a egregia lege inter se cohaerere, ita 
ut omnes conjunctim quasi ambitum quendam completum constituant, in quo nihil deficiat nihilque 
abundet, quandoquidem omnia producta ex binis pluribus ve horum numerorum iterum in eadem 
classe occurrunt, ita ut simul atque aliqui valores idonei pro a fuerint inventi, ex iis reliqui omnes 
facile definiri queant, praecipue quoniam omnes numeri quadrati eorumve residua respectu divisoris 
4/i certe ingrediuntur. Unde si hoc modo omnia producta, atque etiam potestates numerorum jam 
inventorum inserantur, mox tota ista classis ita adimplebitur, ut multitudo omnium numerorum huc 
pertinentium semper sit semissis omnium plane numerorum ad 4n primorum eoque minorum; altera 
vero semissis praebebit classem numerorum a, qui nullo modo divisores evadere possunt. 
3) Hinc igitur patet, ambas istas classes discrimine maxime memorabili et in natura ipsa 
numerorum fundato a se invicem discrepare, atque adeo essentialiter a se invicem distingui, ita ut 
numeri alterius classis natura sua ab altera classe prorsus sint diversi. 
4) Quoniam nulli numeri classis 4 ni-k-a unquam esse possunt divisores ullius numeri formae 
pp zt nqq: ista classis tanquam origo spectari debet omnium numerorum, quorum natura ab indole 
divisorum abhorret, quae repugnantia quoque ad omnes numeros extendi debet, qui divisibiles sunt 
per ullum numerum classis 4 ni-t-ce. Si enim tales numeri possent esse divisores, etiam isti hujus 
classis numeri forent divisores, id quod naturae rei repugnat.