160 
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1775. 
numerum residuorum diversorum etiam minorem non esse quam \ (P—1). Sicque demonstratum 
est, numerum omnium residuorum diversorum esse = £ (P— 1). 
§ 2. Coroll. 1. Quod si ergo litterae latinae a, 6, c, d, etc. denotent omnia residua, quae 
ex divisione numerorum quadratorum per numerum primum P resultare possunt, earum multitudo 
semper erit \ (P—t), in iisque sempcr occurrent quadrata 1, k, 9, 16, etc. quatenus ipso numero 
P sunt minora, reliqua vero nascuntur ex quadratis majoribus quam P. 
§ 3. Coroll. 3. Cum omnia residua 6, c, d, etc. sint minora quam divisor P, eorumque 
numerus tantum sit { (P—1), dum omnium numerorum ipso P minorum multitudo est P — 1; 
horum tantum semissis classem residuorum constituit, reliqui vero numeri, quorum multitudo etiam 
est | (P— 1), ex hac classe penitus excluduntur, quos ergo litteris graecis a, ¡3, y, d, etc. desig 
nemus et non-residua appellemus, ita ut pro quovis numero primo P omnes numeri ipso minores 
in duas classes sint referendi, quarum altera continet omnia residua «, 6, c, d, etc. altera vero 
non-residua «, /i, y, S, etc. In utraque autem classe perpetuo totidem continebuntur numeri, 
quorum multitudo est | (P— 1). 
§ Coroll. 3. Si ergo a denotet residuum quodcunque, omnes numeri quadrati contine 
buntur in hac formula generali; XP-^-a, et semper coefflcientem X ita accipere licebit, ut ista 
formula evadat quadratum; contra autem, si a denotet non-residuum quodcunque, haec formula 
XP-+-a nunquam fleri poterit quadratum, quicunque numeri loco X accipiantur. 
§ 5. Scholioii. Jam olim plures egregias proprietates tam residuorum quam non-residuorum 
demonstravi, quas omnes hic repetere superfluum foret: sequentes autem tantum hic meminisse 
juvabit (*): 
l') Quod producta ex binis residuis, veluti ah, semper etiam in classe residuorum occurrant, 
postquam scilicet divisione per P ad valores minimos fuerint reducta; unde patet, etiam omnes 
potestates cujusque residui in eadem classe reperiri debere. 
2) Sin autem residua per quodpiam non-residuum multiplicentur, producta semper in classe 
non-residuorum reperientur, unde patet, ex unico non-residuo a reliqua omnia reperiri posse, dum 
scilicet residua a, 6, c, d, per u multiplicentur. 
3) Sin autem bina non-residua, veluti a et /9, in se invicem multiplicentur, producta m/9 in 
classem residuorum incidunt, producta vero ex ternis non-residuis iterum evadunt non-residua, ex 
quaternis vero denuo residua, et ita porro. 
k) Tum vero etiam, si quodvis residuum a per aliud residuum b dividatur, etiam quotus in 
classe residuorum reperietur, siquidem a dividi queat per b; sin vero dividi nequeat, semper dabitur 
tale multiplum ipsius P, quod sit /uP, ut formula /uP -+- a divisionem per 6 admittat; atque etiam 
hoc casu quotus semper reperietur in classe residuorum. 
§ 6. Tlieorema 3. Denotante a residuum quodcunque, quod ex divisione qua 
dratorum per numerum primum P oriri potest, si numerus n contineatur in formula 
XP — a, semper assignari poterunt numeri ac et y tales, ut forma xx-^nyy divisio 
nem admittat per numerum primum P. 
(*) Vide Cominent. XV. a pag. 215.