Divisores numerorum formae pp ± nqq. 
161 
Demonstratio, Ponamus numerum primum P divisorem esse cujuspiam numeri in forma 
xx h— nyy contenti, ita ut sit ¡uP = xx -+- nyy; erit ergo nyy = ¡uP— xx. Verum quadratum xx 
in forma XP-\-a continetur, quo substituto fiet nyy = ( y ft— X) P — a = rP — a, ideoque 
vP — a 
Quia autem yy est quadratum, in classe residuorum continetur, consequenter erit etiam 
ii — 
xr 
— residuum, ideoque sub a comprehendi potest, unde in integris habebimus n = XP — a. Hinc 
yy ' 
igitur vicissim sequitur, quoties n fuerit numerus in forma XP — a contentus, tum semper exhiberi 
posse numerum formae xx-t-nyy divisibilem per numerum primum P. 
§ 7. Coroll. 5. Hinc ergo etiam intelligi tur, si a denotet quodcunque non-residuum respectu 
numeri primi P, fueritque n numerus in hac forma /nP— a contentus, tum hunc numerum primum 
P nullo modo divisorem fieri posse ullius numeri in forma xx-^-nyy contenti. 
§ 8. Coroll 2. Cum igitur omnes plane numeri vel in forma /uP — a, vel in /liP — a con 
tineantur, hinc discimus, pro quovis numero primo P omnes numeros in duas classes distribui, 
quarum utraque totidem contineat numeros, propterea quod multitudo valorum ipsius a eadem est 
ac valorum ipsius a, quarum classium altera omnes continebit numeros n, unde formula xx -+- nyy 
recipere queat divisorem P: altera vero classis reliquos continebit numeros, qui si pro n acci 
piantur, formula xx-+-nyy nullo modo per P divisibilis esse queat. 
§ 9. Scliollon 1. Quo haec exemplo clariora reddantur, consideremus numerum primum 13, 
pro quo residua reperiuntur: 1, 4, 9, 3, 12, 10, non-residua vero: 2, 5, 6, 7, 8, 11; atque ut 
forma xx -t-nyy divisibilis esse queat per 13, numerus n in aliqua sex sequentium formularum 
contentus esse debet; 
13 A — 1, 13 A — 4, 13 A — 9, 13 A — 3, 13A—12, 13 A — 10, 
sicque valores idonei pro isto numero n ordine naturali dispositi erunt sequentes: 
quorum numerus usque ad 100 est 46. Reliqui ergo numeri qui divisorem 13 a formula xx-\-nyy 
penitus excludunt, deletis iis qui ipsi per 13 sunt divisibiles, ordine erunt isti: 
quorum numerus est 47, ideoque tantum non aequalis priori. Ratio autem, cur multipla ipsius 13 
exclusimus, est, quod de formula xx-v-i^yy, utrum divisorem 13 accipiat, quaestio esse non potest, 
quia manifesto numerus deberet esse divisibilis per 13. 
§ 10. Scliollon 2. Quoniam vis nostrae demonstrationis clarius in exemplis perspicitur, 
contemplemur alium numerum primum 19, pro quo novem residua sunt: 1, 4, 9, 16, 6, 17, II, 
7, 5, novem vero non-residua: 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18. Hinc igitur formula xx-t-nyy 
divisorem 19 recipere poterit, si numerus n in sequenti forma contineatur: 
n — i9A — ( 1, 4, 9, 16, 6, 17, 11, 7, 5); 
sin autem n contineatur in sequenti formula: 
n = 19A — (2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18), 
L. E al eri Op. aritbin. II. 
21