Problema Dìophanteum. 
403 
LXXYI. 
Solutio proMeinatls Fermatlaiii rtc rttioliiis immeris, quorum somma 
sit qiiartratiim, qiaaclratorsoii vero ssimma blqiiartratiim, art 
meiitcm ill. La Orange art ornai a. 
(Mémoires X. 1821. 1822. p. 3. Exhib. 1780. Junii 5.) 
§ 1. In solutionibus hujus problematis, quae hactenus passim in medium sunt allatae, Ill. La 
Grange id potissimum merito reprobat, quod nimium casui et vagis tentaminibus tribuatur, unde 
fit, ut certi esse nequeamus, omnesne solutiones, atque adeo simplicissimas hoc modo inventas esse. 
Huic igitur desiderato sequente analysi satisfactum iri confido. 
§ 2. Sint x et y bini numeri quaesiti, ita ut esse debeat cc-r-y = Q et xx -t- jj = □ 2 , si 
pro conditione posteriore sumamus x — pp — qq ety = 2pq, fiet xx -t-yy = (pp qq) 2 . Quod 
si porro statuatur p = rr — ss et q = 2rs, fiet pp-+-qq = {rr-t-ss) 2 } ideoque xx-t-yy={rr-t-ss] i , 
uti requiritur. Hinc autem erit x — r'*— 6 rrss -+- s* et y — krs [rr — ss). 
§ 3. Pro conditione priore crg;o summa numerorum erit 
x -f- y = r 4 h— h r 5 s — 6 rrss — W rs 3 -t- i 4 , 
quae formula idcirco quadratum est efficienda. Hunc in finem, ne quidquam tentamini tribuatur, 
istam expressionem sub hac forma repraesento: 
x -t- y = (rr 2rs — ss) 2 — 8rrss, 
ita ut jam talis formula: A A—2 BB quadratum reddi debeat, quod fit sumendo A — tt-\-2uu et 
B = 2tu; tum enim fiet A A — 2 BB — (tt — 2 an) 2 . 
§ k. Nunc loco A et B scribamus nostros valores et habebimus rr-+~2rs — ss = ti~t- 2uu 
, et 2rs = 2tu, hocque modo summa numerorum nostrorum erit x-+-y={tt — 2aa) 2 , ideoque jam 
ambabus conditionibus erit satisfactum, dummodo formulae modo inventae fuerint expeditae. 
§ 5. Quoniam autem haec duo producta rs et tu inter se aequalia esse debent, loco litterae 
s hic tuto unitatem assumere licebit. Quamquam enim tum pro r fractiones sint proditurae, id 
'solutioni neutiquam officit, quia solutio in fractis inventa facile ad integros reducitur. Hoc igitur 
modo erit r = tu, qui valor in altera aequatione substitutus dabit ttau -t-2tu — i=tt-+-2uu, 
sicque totum negotium reductum est ad justam relationem inter t et u inveniendam. Sive ergo t per 
u, vel u per l definire velimus, resolutio aequationis quadraticae binas sequentes suppeditabit formulas; 
*