405 
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1780. 
LXXYII. 
Oc binis formulis speciei xx -+- myy et xx -+- nyy iitter se concordibus 
et discordibus. 
(Mémoires VIII. 1817. 1818. p. 3. Exhib. 1780 Junii 5.) 
I 1. In analysi Diophantea frequentissime occurrere solent hujusmodi hinae formulae, de quibus 
quaeritur, utrum ambae simul quadrata effici queant, nec ne? quod discrimen cum maximi sit mo 
menti et ad insignes numerorum proprietates perducat, eas hujus generis formulas, quae quadrata 
reddi possunt, vocabo concordantes, eas autem, ubi hoc nullo modo fieri potest, discordantes. Ita, 
cum demonstratum sit, has formulas: xx -+- yy et xx — yy, nunquam simul quadrata effici posse, 
eae erunt discordantes, cujusmodi etiam sunt hae duae formulae: xxyy et xx-+~2yy, ac plu 
rimae aliae nunc quidem cognitae. Contra vero etiam dantur innumerabiles formulae concordantes, 
cujusmodi sunt xx-+-yy et xx-\~lyy. Sumto enim x = 3 et j = k fit xx -§- yy = 5 2 et 
xx 7jj = H 2 . Quemadmodum igitur formulae concordantes et discordantes distingui queant, 
hic accuratius investigare constitui. 
§ 2. Primum autem observasse juvabit, hujusmodi binas formulas pluribus modis in alias 
transformari posse, quae ejusdem sint indolis. Ita hae duae formulae: 
xx nyy — vv, 
xx -4- myy = zz, 
facile transmutantur in formas sequentes: 
zz — myy = xx 
ZZ-+- (n — m) yy = vv 
= XX 
= myy 
ZZ — XX 
[m — n) xx -+- nzz = mvv 
zz — vv = (m — n) yy 
nzz — mvv = (/i — m) xx. 
Hae igitur sex variationes ita sunt comparatae, ut si earum quaecunque fuerit vel concordans, vel 
discordans, reliquae omnes ejusdem sint naturae. Quo praemisso solutio sequentis problematis maximi 
momenti erit censenda. 
§ 3. Problema. Proposita hac formula: xxmyy — zz, ubi m denotet numerum integrum 
quemcunque, sive positivum, sive negativum, investigare omnes formulas xx-+-nyy = vv, quae cum 
proposita sint concordantes.