ii 
* St'. 
De formulis concordibus et discordibus. 
409 
§ 11. Ope hujus tabulae facile erit solutionem problematis expedire. Sumantur enim pro r et 
s successive omnes valores, a minimis 1 et 1 incipiendo, et pro singulis excerpantur numeri q et <7; 
tum pro quolibet casu r et s quaerantur omnia producta pq ipsi rs aequalia, quod eo pluribus modis 
fieri poterit, quo plures affuerint factores. Tum vero pro singulis p et q quaerantur valores ipsius 
x = /upp — rqq, id quod duplici modo fieri poterit, quia etiam erit x = vpp — ¡uqq. Quo facto 
singuli valores pro x inventi dabunt infinitos valores pro numero quaesito, cum sit 
n = (hss ± ox) (hrr ± ox) 
hocque modo operationes continuando plurimos numeros pro n sumendos obtinebimus. 
§ 12. lExemgrftim. Proposita formula xx-+- ! yy = zz investigare omnes formulas concor 
dantes xx -+- nyy = vv. 
Hic ergo erit /u = v = 1 et x = pp — qq. Sumatur nunc r — 2 et s = 1, eritque q = 1 
et <7 = 0. Quia igitur rs = 2, unico modo fiet p = 2 et </= 1, eritque cc = 3, quocirca hinc 
habebimus n = h (4/i dz 3), unde pro n jam deducuntur se<[uentes valores: 
/i = l, 7, 10, 22, 27, 45, 52, 76, 85. 
Simili modo sumatur /• = 3 et 5=1, ubi iterum erit q = 1 et a = 0, tum vero unico modo fiet 
p = 3 et q= 1, ideoque x=S, hinc n = h (9/i ± 8), unde oriuntur sequentes valores pro n: 
1, 17, 20, 52, 57. Eodem modo sumtis r = 3 et s = 2, ut sit q = 2 et <7=1, habebimus 
duplici modo p = 6 et q= 1, et p — 3 et q = 2, unde duo casus nascuntur, scilicet a? =35 et 
x = 5. Ex priore orietur n = (4/i rb 35) (9 /¿±70), unde infra centenarium nulli occurrunt valores 
praeter hos; n = — 6, 11, 49, 100. At vero pro altero casu fiet n = (4/izt 5) (9/izt 10), unde 
oriuntur hi valores: n = 1, 24. Hinc jam satis clare intclligitur, quomodo ulterius sit operandum. 
Hoc autem modo calculum satis longe prosecuti, pro n sequentes valores infra centenarium 
sumus adepti. Primo quidem istos positivos: 
/1=1, 7, 10, 11, 17, 20, 22, 24, 27, 30, 31, 34, 41, 42, 45, 49, 50, 52, 57, 59, 60, 61, 71, 
72, 74, 76, 79, 85, 86, 92, 94, 97, 99, 
tum vero negativos sequentes: 
n = — 6, — 18, — 35, — 47, — 55, — 60, — 76, — 88, — 90, — 98. 
§ 13. Interim tamen asseverare non ausim, nullos alios praeterea dari valores pro n. Quidam 
enim horum valorum orti demum sunt ex numeris satis magnis pro r et s assumtis. Voluti valor 
n = 59 prodiit ex numero £c=ll, sive ex casu r = 6 et 5=5, unde fit j = 60; tum enim 
utique erit 1 l 2 -r- 60 2 = 61 2 et 11 2 -+- 59.60 2 = 461 2 . Simili modo casus n = 86 ortus est ex 
valoribus x= 1295 et y = 72. Erit enim 
1295 2 -+- 72 2 = 1297 2 
1295 2 -f- 86.72 2 = 1457 2 . 
Numerus autem n = — 47 oritur ex casu cc = 612 et y = 35. Erit enim: 
612 2 35 2 = 613 2 et 612 2 — 47.35 5 
563 2 . 
§ 14. Cum igitur neutiquam affirmare liceat, omnes numeros in hac tabula non contentos 
dare formulas discordantes cum formula xx -t-yy = zz y methodum subjungam quamlibet formulam 
L. liuleri Op. arilhm. II. 52