pq — rs.
, sicque prò
fìat
99,
99,
est 7 ; quare
Statuamus
da.
ero ponendo
Statuamus
currit casum
I, q= 2,
consequenter
loco sequens
sunt dis-
utramque
sit summa
(pp -+- wY-
^o aequi valet
huic: {pp ~+~ qqY—3 (pq) 1 — Quamobrem, quo hoc flat, statuamus ppqq ~ rr-v-3ss et
pq — 2 rs. Sic enim fiet xx -+~yy — (rr — 3 ss)*.
§ 32. Statuamus porro pq = 2rs = 2abcd, fiatque p = 2ab, erit q = cd; tum vero sit r=bc,
erit s = bd, qui valores substituti hanc praebent aequationem:
kaabb h- ccdd = aacc 3 bbdd,
unde sequitur
aa ii L>0 — cc , ., aa
Tj = 7r; 7 vel etiam -r- = 777
da Ahh — cc dd cc — 4 bb
ubi cum nullus divisor communis occurrat, siquidem tam p et q quam r et s supponantur primi
inter se, tam numerator quam denominator seorsim debet esse quadratum. Pro priore ergo ponatur
366 — cc = ff et ^ 66 -—cc = gy, quae utraque positio est absurda. Quare pro altera formula
ponamus cc — 366 = /^ et cc — h bb = gg. Ex ista statim fit cc — gy-^kbb, unde altera evadit
ff= gg -+- bb, quae cum sint ipsis propositis perfecte similes, atque minores, manifesto hinc sequitur
veritas theorematis.
§ 33. CopoII. 1. Cum igitur istae formulae xx-\- yy et xx -+- h jy sint discordantes, etiam
omnes carum variationes initio memoratae erunt discordantes, scilicet
ZZ — yy — xx cc — \ yy = XX
ZZ -H 3vy = cc cc—3yy = ZZ
CC XX = k yy CC ZZ = 3 yy
cc h- 3 xx — \ zz h zz — c c = 3 xx.
XX
XX
■ rr
^rr
zz
cc
ZZ XX :
kzz — 3xx
rr
: VV
§ 3 ? i. Coroll. 2. Praeterea vero etiam illae formulae, ad quas in solutione superiore sumus
perducti, certe sunt discordantes, scilicet
2hb—gg= ff
2gg — bb = cc,
quoniam non dantur quatuor quadrata in progressione arithmetica. Hinc ergo etiam omnes varia
tiones erunt discordantes, quae sunt;
2 xx — zz — yy
3xx — 2zz = cc
2 xx — yy = zz
2 yy — xx = cc
rr~i - zz — 2xx
3 rr — zz = 2 cc
2rr — ec
3 yy— 2 cc
XX
zz
XX —I— cc
3xx — cc
2 yy
2 zz
1- cc = 3 xx
r- 2cc = 3 yy.
§ 35. Coroll. 3. Denique etiam formulae biquadraticae, quae se obtulerunt, sunt impossibiles.
Ita cum ex theoremate sit p i — ppqq -+- q 4 — Q impossibilis, impossibilis quoque erit haec forma:
p i -1- Ikppqq -1- q i = O, hineque etiam plures aliae formulae, quae per transformationem hinc
formari possunt.
