L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1780.
il 6
quae progressio, quando omnes litterae per numeros determinatos dantur, haud difficulter ulterius
continuari poterit.
§ 9. Isti yalores evoluti pro x—Bnpq sequentes praebent valores:
~ BC BC{mnC 2 —(mn — AB) 2 )
7 mn — AB ^ (mn — AB') 3 — ABC 2 (jnn — AB) 5
qui singuli jam innumerabiles solutiones complectuntur, quoniam litteris f et g valores quoscunque
tribuere licet. Deinde etiam quilibet horum valorum adhuc alium suppeditat. Nam quia aequatio
l
ita est comparata, ut posito x = — abeat in hanc:
[A -+- Ct -+- Btt) 2 — h mntt = □,
haec a priore in hoc tantum discrepat, quod litterae A et B sint permutatae, unde facta hac
permutatione singuli valores pro oc inventi dabunt totidem valores pro t, qui ergo inversi novos
B C AC
valores pro x praebent. Ita cum sit x = ? erit t = _ 1B ’ ideoque novus valor erit
quod idem de omnibus reliquis valoribus pro x inventis est tenendum.
§ 10. Postquam pro x inventa fuerit fractio quaecunque — > quia sumsimus y = 1, ut ad
numeros integros revertamur, capi oportebit x — M ct y = A T , unde porro colligetur v = fM—bgN
et z = fN-i-agM. Hoc ergo modo problemati plene erit satisfactum, cum adeo infinities infinitos
valores satisfacientes assignare liceat.
§ 11. Exemplum. Proposita sit haec formula ad quadratum redigenda:
cczz (xx -§- jy) 2 -t- xxyy (ce zz) 2 .
1 1
Hic igitur erit a=i, b=i et A = i= — kmn, unde sumi poterit m — ~ et n = Ex
his valoribus fiet
A =
fg
.ff+gg’
p__ *fg
Jf-*-gg
r ff— gg
ff+gg'
Hinc ergo valores supra evoluti erunt 0, 2* Sumamus igitur f= 2 et g = 1, erit
x— quamobrem ponamus x = 8 et ¡y = 3, fietque v= 13 et z = 14. Cum igitur sit
cz = 182, xx -t-yy = 73, xy = 2k, vv -1- zz = 2(>5 = 5.73,
quadratum esse debet 182 2 .73 2 -+- 2k 2 . 5 2 .73 2 , dividendo ergo per 2 2 .73 2 reperietur
91 2 -+- 12 2 .5 2 = 109 2 .
§ 12. Quaestio proposita adhuc generalior reddi similique modo resolvi posset, si proponeretur
ad quadratum reducenda haec formula:
yvzz {axx —i— 2hxy h- czz) 2 -+- A xxyy (aco -+- 26cz czz) 2 ,
quae autem, ob id ipsum quod 6 non nihilum, nulla plane laborat difficultate. Sumi enim adeo
possunt ambae litterae c et z pro lubitu, et facta evolutione prodibit talis forma:
^ 2 a; 4 -t- 2 Bx z y -+- Cxxyy -+- 2 Dxy 5 -+- E 2 j 4 ,
cujus resolutio adeo methodo vulgari expediri potest.
§ 13. Interim tamen si similis solutio desideretur, quae perinde locum habere queat, sive b sit
0, sive minus, talis solutio pari modo succedet ut ante, si modo sequens lemma in subsidium vocetur.
