418 
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1780. 
LXXIX. 
I>e |>romoilone aitalysis IMopliaiitcai*. 
(Mem. XI. 1830 p. 1. Exhib. 1780 Junii 12.) 
§ 1. Quando in analysi Diophantea ad formulas biquadraticas, quadrato aequandas, pervenitur, 
methodus eas tractandi adhuc parum est exculta et nimis taediosas ambages requirit, quando plures 
solutiones desideramus. Qualibet enim solutione inventa, formula biquadratica per substitutionem 
continuo in alias formas transmutari debet, quibus operationibus mox ad tam enormes numeros 
pervenitur, ut vix quisquam tantum laborem suscipere voluerit. 
§ 2. Cum igitur nuper pro problemate notissimo, quo duo numeri requiruntur, quorum summa 
sit quadratum, quadratorum vero summa biquadratum, in solutionem satis commodam et concinnam 
incidissem, mox perspexi, eandem methodum multo magis generalem reddi posse. Semper enim in 
usum vocari poterit, quoties talis formula biquadratica ad quadratum reducenda proponitur: 
aax i -+- 2abx*y -+- cxxyy 2bdxy 5 -t~ ddy A = 
Quia enim ad hanc formam reduci potest; 
[axx bxy -+- cQy) 2 -+- [c — bb — 2 ad) xxyy, 
ponamus brevitatis gratia c — 66 — 2 ad = mn, ut habeamus 
(axx h— bxy dyyY~+~ mnx 2 y % = Q ; 
huic satisfiet, statuendo 
axx —bxy -+- dyy — A (mpp — nqq) et xy = 2 Apq; 
tum enim nostra formula evadet quadratum, scilicet AA {mpp -+- nqq) 2 ; ubi notetur, quo plures 
numerus mn habeat factores, eo pluribus modis hanc expressionem immutari posse. 
§ 3. Hic omnes numeros m, n, p, q tanquam integros spectamus; sin autem fractos admittere 
velimus, loco y unitatem scribere licebit, sicque erit x = 2Xpq, qui valor in praecedente aequatione 
substitutus praebet 
4 AAappqq -f- 2/Mpq d = hnpp — hiqq, 
quae aequatio cum sit quadratica respectu utriusque litterae p et q, pro utraque radicem extrahendo 
inveniemus has duas formulas; 
— Xbq ± V {Xmd-+- X.Xqq (bb — 4ad-+- mn) — 4 X^naq*) 
AXX.aqq — Xm 
— X.bp ± V(— X.nd-1- X.X.pp (bb — And-+- mn) -h 4/ j - 3 map i ) 
4 XXapp -i- X.n 
9