549 
Tractatus de numerorum doctrina Cap. 11. 
patet. Si enim sit 2q = 3kAz 1, cum a 2 ? — a 5k± 1 inter residua cuborum occurrat, utpote unitati 
aequivalens, ibidem vero sit a sk , ibidem reperiatur a necesse est. 
392. Superest ergo, ut ostendatur, si sit 2q = 3h et a sf ‘—1 dividi queat per 6q-t-1 = 9fc-H 1, 
tum a fore inter residua cuborum (*); a 5k ibi quidem certe repentur utpote cubus, sed inde demon 
stratio peti debet, quod residuum a* h unitati aequivaleat. 
393. Verum cum residua potestatum i, a, a 2 , a s , etc. diversa, sint numero 2q, pariter atque 
in residuis cuborum, et ambo ordines incipiant ab unitate et communes habeant terminos a 5 , a 6 ’ 
a 9 , etc., tum vero reliquae proprietates ipsis sint communes, ordo potestatum nullos terminos ab 
altero diversos continere potest. 
39k. Si autem ad non-residua cuborum, per numerum primum 6 gr—i— 1 divisorum, attendamus, 
id quidem certum est, si mn sit residuum, at m non-residuum, fore quoque n non-residuum. I\on 
vero vicissim omnia producta ex binis non-residuis praebent residuum: at omnia producta ex residuo 
quocunque in non-residuum sunt non-residua. 
395. Primo enim quadrata singulorum non-residuorum quoque inter non-residua continentur; 
scilicet si A sit non-residuum, quoque A 2 erit non-residuum; hoc vero non-residuum A 2 per non- 
residuum A multiplicatum certo dat residuum, quia est cubus. 
396. Si enim A 2 esset residuum, foret A Kq — 1 divisibile per 6qr —i— 1; at cum A Bi/ —1 certe 
sit divisibile, foret etiam A 9<1 —A*‘ l , hoc est A 2<l —1 divisibile, ideoque A esset residuum cuborum, 
contra hjpothesin. Quare si A A sit residuum, etiam A erit residuum, et contra si A sit non- 
residuum, erit quoque A A non-residuum. 
397. Si ergo divisore primo existente = 6 residua cuborum sint 1, u, /3, y, S, etc. 
atque unicum habeatur non-residuum A, primo omnes hi numeri A, Au, Afi, Ay, etc. deinde 
etiam isti A 2 , A 2 u, A 2 /3, A 2 y, etc. erunt non-residua, qui numeri cum omnes a se invicem sint 
diversi, manifestum est, quod jam demonstravimus, multitudinem non-residuorum duplo esse majorem 
quam residuorum. 
398. Hinc etiam patet, si divisor primus sit 6q-+-1,, tantum 2q residua diversa locum habere 
posse; si enim omnes numeri inter residua occurrerent, in genere a 2<{ —1 esset per 6gr —f— 1 divisibile, 
quicquid esset a<6q-t-l, quod cum sit absurdum, ideoque unum saltem datur non-residuum, eo 
ipso kq non-residua sequuntur. 
399. Cum igitur ex unico non-residuo A obtineantur duo ordines non-residuorum, prior 
A, Au, Afi, Ay, etc. et posterior A 2 , A 2 a, A 2 /3, A 2 y, etc. uterque tot continens terminos, quot 
ordo residuorum, producta ex binis ordinis alterutrius in altero ordine reperiuntur, et producta ex 
binis utriusque ordinis fiunt residua. 
^00. Si adhuc dubitemus, an hoc modo omnia non-residua ex uno obtineantur? sit B non- 
residuum in neutro ordine contentum, et non-residua erunt tam B, Ba, B/3, By, etc. quam 
( ) Script. ad marg. Si enim a esset non-residuum, reliqua non-residua omnia, quae sunt a, aa, a[3, ay, ad, 
et a 2 , a 2 a, a'(d, a 2 y, etc. eadem proprietate gauderent, ut eorum potestates exponentis 2q, unitate minutae, 
essent divisibiles per Sq-+-1; ergo omnes numeri hanc haberent proprietatem, quod esset absurdum.