550
L. EULERI OPERA ARITHMETICA INEDITA.
fi 2 , fi 2 cf, fi 2 /?, fi 2 /, etc. utrobique totidem numero, quot dantur residua, et omnes hi numeri a
praecedentibus erunt diversi. Praeterea vero vel AB y vel AB 2 non erit residuum; altero certe
existente residuo, altero non-residuo. (*)
401. Si AB non est residuum, binos ordines non-residuorum ita repraesentare poterimus:
Ordo prior: A, Aa, Afi, Ay, etc. fi, fiet, B/3, By etc.
Ordo posterior: A 2 y A 2 a, A 2 t S, A 2 y, etc. fi 2 , fi 2 «, fi 2 /?, fi 2 /, etc.
et quivis numerus ordinis prioris A, per quemlibet posterioris multiplicatus, praebet residuum, et
quidem per quemlibet diversum; unde plura residua prodirent, quam revera sunt, quod esset absurdum.
402. Cum ergo ex divisore primo 6qr-+-l tantum 2 q residua existant, dato quovis cubo a 3 ,
dabitur alius 6 5 , minor quam (6q-t-l) 3 , quorum differentia per 6</-i-l erit divisibilis, ideoque
aa h— ab -+- hb per eum quoque erit divisibilis. Omnis ergo numerus primus 6 </-*-! est divisor
talis numeri aa-t-3bb, vel talis aa-t-3, vel 3aa-+- 1.
403. Speciminis loco sit divisor 373, et tam residua cuborum, quam non-residua utriusque
ordinis ita se habebunt:
Residua
Non-residua
dt
Ordinis I.
-4—
Ordinis II. dt
1,
7, 8,
12,
13,
17
2,
3, 5,
14,
16,
21
6, 9,
10,
H,
15
18,
19,
20,
22,
23
24,
26,
34,
35,
36
25,
28,
29,
32,
37
27,
30,
31,
33,
41
38,
39,
40,
44,
46
42,
43,
48,
52,
63
45,
49,
50,
55,
56
47,
51,
53,
54,
57
68,
70,
71,
72,
73
58,
64,
67,
74,
75
59,
60,
61,
62,
65
76,
77,
78,
79,
80
84,
86,
87,
91,
96
66,
69,
81,
82,
83
88,
92,
94,
102,
103
97,
104,
109,
111,
113
85,
89,
30,
93,
95
105,
106,
108,
114,
117
119,
125,
126,
129,
133
98,
99,
100,
101,
107
118,
120,
122,
124,
127
136,
137,
139,
140,
142
110,
112,
115,
116,
121
130,
131,
132,
138,
141
144,
145,
146,
152,
m
123,
128,
134,
135,
147
143,
149,
153,
159,
162
156,
157,
158,
160,
161
148,
150,
151,
155,
165
164,
166,
170,
171,
173
163,
167,
169,
176,
184
168,
172,
174,
179,
181
175,
177,
178,
180,
183
185.
182.
186.
numero
2.62
= 124
numero =
= 124
numero =
= 124
404. Cum igitur divisore primo existente 6</-i-l, multitudo non-residuorum duplo major sit
quam multitudo residuorum, etiam pauciores erunt divisores, pro quibus datus numerus inter residua
contineatur. Ita datus numerus a erit residuum, si divisor fuerit factor talis formae £c 3 db ay z , vel
etiam talis x*dz aay 3 ; si enim sit £c 3 db ay s = dn, cubus x z per d divisus residuum dat ay 3 , sicque
etiam a erit in residuis.
(*) Script, ad marg. Demonstrari debet, ambo simul non esse posse non-residua. Si AB est non-residuum,
vel in ordine A, vel B, vel A 2 , vel B 2 conlinetur. At singula sunt absurda, ergo esset AB residuum.