554 
L. EULERI OPERA ARITHMETICA INEDITA. 
427. Quaevis classis tot continet terminos quot sunt residua, et omnes termini harum classium 
sunt a se invicem diversi. Ejusdem quidem classis termini manifesto sunt diversi; diversitas autem 
terminorum in diversis classibus ita ostendetur. 
428. Si ax aequivaleret ipsi ¡3x 2 , foret (3x 2 —ax, ideoque /3x — a per 4</-h1 divisibile, unde 
cum a sit residuum, /3x quoque esset residuum ipsi aequivalens, quod esset absurdum. Simili modo 
si ax, vel ax 2 conveniret cum /3x 3 , foret vel a — /3x 2 , vel a — /3x divisibile per 4gr—t— 1, ideoque 
/3x 2 , vel ¡3x in residua transiret, contra hypothesin. 
429. Hinc si numerus residuorum sit — n, numerus non-residuorum erit 3/i, vel saltem non 
erit minor quam 3n. Ac si in tribus memoratis classibus omnia non-residua contineantur, nccesse 
est sit multitudo tam residuorum quam non-residuorum junctim sumta =4q, ideoque n — q. 
430. His classibus ita ut fecimus dispositis, manifestum est producta ex binis non-residuis tam 
primae quam tertiae classis in classe secunda contineri; deinde vero producta vel ex binis terminis 
secundae classis, vel ex termino primae in terminum tertiae in ordinem residuorum transgredi. 
Productum autem ex termino primae in terminum secundae classis reperitur in tertia classi, at pro 
ductum ex secunda classe in tertiam reperitur in prima. 
431. Hinc intelligitur neque in prima, neque in tertia classe numerum quadratum locum habere 
posse, quoniam is in se ipsum ductus foret residuum. Sola ergo secunda classis continet quadrata, 
et quoniam residua etiam ut quadrata spectari possunt, multitudo omnium quadratorum est — 2n. 
432. Si secunda classis cum residuis omnia quadrata complectatur, quae ut residua diversa 
respectu divisoris 49 —t— 1 spectari possunt, quorumque numerus est — 2q, ut in residuis quadratorum 
vidimus, ob 2n = 2q, ideoque kn — kq, omnes numeri ipso divisore minores habentur, neque ulla 
dabuntur non-residua in nostris tribus classibus non contenta, eritque n — q. 
433. Si ergo quis dubitet, an in nostris tribus non-residuorum classibus omnes occurrant 
numeri, qui non sint residua, boc dubium tolletur, si ostendamus nullum dari quadratum non- 
residuum, quod non in secunda classe contineatur. Si enim yy esset tale quadratum, inde statim 
tres novae classes non-residuorum emergerent, forctque jam numerus non-residuorum =6n, ac si 
nunc non-residua essent completa foret 7n = kq, 
434. Verum quod tale quadratum yy, tres novas classes non-residuorum post se trahens, non 
detur, ita ostenditur: Sint tres classes ex tali quadrato oriundae et prioribus adjiciendae 
IV. y, ay, fiy, yy, etc. V. y 2 , ay 2 , /3y 2 , yy 2 , etc. VI. y 5 , ay*, fiy 5 , yy*, etc., 
quarum singulae n terminos continebunt, ac duo casus examinari oportet, alterum quo xy esset 
residuum, alterum quo esset non-residuum. 
435. Sit xy residuum, atque omnes termini classis quartae per x multiplicati, scilicet xy, 
axy, (3xy, yxy, etc. numero n, erunt residua. Verum etiam omnes termini classis tertiae per x 
multiplicati, scilicet x*, ax*, ¡3x*, yx*, etc. sunt residua totidem numero, atque ab illis diversa; 
nam si axy et /3x* convenirent, foret ay — fix* divisibile per divisorem, et ay caderet in classem 
tertiam, contra hypothesin. Prodirent ergo 2n residua diversa; quod cum sit absurdum, fieri nequit 
ut xy sit residuum.