Problema Diophanteum. 
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où, lorsque nn > 2 (2/i -h 1), le premier membre surpassera toujours le second, et par conséquent 
toutes les valeurs de z, depuis p jusqua l’infini, répondront à notre but, et nous aurons toujours 
PP~+~ W > rr - arr ‘ ve lorsque n > 2 -4- V6. Or, dans le cas de n = 2-+-V6, on aura 
h = V(/i/i — 2 ai — 1) = V(5 -h 2 V6) = Y3 -h Ÿ2, p = n -f- k = (V3 -h V2) (V2 h- 1), 
f= n — k = (V3 -h V2) (V2 — 1). 
Donc cela aura lieu quand 
Q>(V3 -H V2) (V2 h— i), (V3 ■+- V2) (V2 — 1), 
ou bien, en réduisant en fractions décimales, lorsque p > 7,59575V1 et /*< 1,303225V. Ainsi, 
toutes les fois que f <C 1,303225V, ou p >» 7,59575V1, la quantité z peut être plus grande que p 
jusqu’à l’infini. 
15. Passons maintenant au cas, où nn < 2 (2/i -h 1), ce qui arrive lorsque ;i < 2-HV6, ou 
lorsque /*> (V3-h V2) (V2 — 1) et, au contraire, p <C (V3 -h V2) (V2 -h l). Si nous retranchons 
dans notre équation le premier membre du second, nous aurons 
(Vai -h 2 — nn) z* — (2Vai -h 12 h- 2nn) zzh-V/ih- 2 — 2nn. 
Soit, pour abréger, = ^^ ^ viendra, après avoir divisé par Vai-h2—nn, 
z 4 — 2 Jzz -+-1=0. 
En résolvant cette équation, on a zz = z/zh V(z/ 2 —1), ou enfin z = ± ) — V (—■Y~')' 
Or, de ces quatre racines de l’équation z 4 — 2z/zz-h1=0, la plus grande 
est la seule qui surpasse 1, et de là nous concluons que toutes les valeurs, depuis p jusqu’à ce 
terme, fourniront des valeurs convenables pour z, 
16. Supposons f — ~ et par conséquent p = 5; nous aurons n = ^> 
d—12,52112 et =6,76056, ^A = 5,76056, enfin V(^) = 2,60, > / (^^=- 1 )n=2,V0, 
et de là z = 5, c’est-à-dire z ne saurait surpasser p que d’une fraction extrêmement petite. 
Second cas. 
Recherche des valeurs de z qui se trouvent au dessous de f. 
17. Ici P et Q sont négatifs, et notre équation à résoudre sera 
/iai(zz-h1) 2 = — P — G = — 2(2thh1)z 4 -h12(2/i-h1)zz—2(2/ih-1)=—2(2/i-h !)(z 4 — 6zz-h1), 
laquelle peut être réduite à la précédente, en faisant z =car alors on aura 
nn (cc-h 1) 2 = 2 (2/1-4- 1) (c 4 — 6w+ 1). 
Observons ici que les deux lettres v et z dépendent l’une de l’autre de la même manière que f et p, 
de sorte qu’on aura semblablement cz = c-4-z-h 1, 
18. Ainsi nous aurons ici, de même qu’auparavant, les valeurs convenables de c entre les 
limites de p et oo, lorsque p> 7,59575Vl, ou f< 1,303225V, et par conséquent z = 
être pris entre les limites de f et 1. 
pourra