( 1 ) Comparer, Tornei, l’Observation VII sur Diophante, 
XL V. 
23 DECEMBRE 1040. 
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à l’infini des nombres premiers de tels nombres de figures qu’on 
voudra. 
Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie, 
qu’en la progression d’un nombre pair, comme G, toutes les puissances 
H- i de la progression qui ont pour exposant : i, 2, 4» 8, 16, etc. sont 
nombres premiers, si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci : 3, 
5, 17, 267, etc.; laquelle proposition, si elle est vraie, est de très grand 
usage. 
Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. 
sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles 
choses en cette matière, car déjà j’ai trouvé des choses merveilleuses 
dont je vous ferai part, après que j’aurai eu votre réponse et celle de 
M. Frenicle. 
3° Je lui demande un moyen plus général que celui que j’ai inventé 
pour savoir quels sont les multiples de l’exposant utiles à la division. 
Après cela, je travaillerai aux propositions que vous me demandez. 
2. Sur le sujet des triangles rectangles ('), voici mes fonde 
ments : 
i° Tout nombre premier, qui surpasse de l’unité un multiple du 
quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule 
fois l’hypoténuse d’un triangle rectangle. 
2 0 Le même nombre et son quatre sont chacun une fois la somme 
de deux quarrés ; 
Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de 
deux quarrés ; 
Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de 
deux quarrés ; 
Etc., à l’infini. 
3° Ce même nombre étant une fois l’hypoténuse d’un triangle rec 
tangle, son ([narré l’est deux fois, son cube trois, son quarréquarré 
quatre, etc. à l’infini.