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CI. - AOUT 1659. 
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CI. 
FERMAT A GARCAYI. 
août 1659. 
(Corresp. Huyg., n° 651.) 
RELATION DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES ( 1 ). 
... 1. Et pour ce que les méthodes ordinaires, qui sont dans les 
Livres, étoient insuffisantes à démontrer des propositions si difficiles, 
je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir. 
J’appelai cette manière de démontrer la descente infinie ou indé 
finie, etc.; je ne m’en servis au commencement que pour démontrer 
les propositions négatives, comme, par exemple : 
Qu’il ri y a aucun nombre, moindre de V unité qu’un multiple de 3, qui 
soit composé d’un quatre et du triple d’un autre quarrè; 
Qu il riy a aucun triangle rectangle en nombres dont Vaire soit un 
nombre quarrè (fi). 
La preuve se fait par à-aywyïjv dç aouvarov en cette manière : 
S’il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son 
aire égale à un quarrè, il y auroit un autre triangle moindre que 
celui-là qui auroit la même propriété. S’il y en avoit un second, 
moindre que le premier, qui eût la même propriété, il y en auroit, par 
un pareil raisonnement, un troisième, moindre que ce second, qui 
auroit la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc. 
à l’infini en descendant. Or est-il qu’étant donné un nombre, il n’y 
en a point infinis en descendant moindres que celui-là (j’entends 
(') Publiée pour la première fois par M, Charles Henry (Recherches, p. 213-216), 
d’après une copie de la main de Huygens. Cette pièce avait été envoyée « depuis peu » 
par Fermât à Carcavi, lorsque celui-ci la communiqua à Huygens, le 14 août i65g. 
( 2 ) Voir Observ. XLV sur Diophante. 
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